[05] (2,0) Determine a solução do seguinte sistema de equações diferenciais, onde x(t), y(t), x(0)=0, e y(0)=0, utilize transformada de Laplace.
l d xd t=2 x+3 y d yd t=2 x+y

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, o sistema
dxdt=2x+3y,[6pt] dydt=2x+y,
sujeito às condições iniciais x(0)=0 e y(0)=0. Vamos aplicar transformada de Laplace a cada equação para obter um sistema algébrico em X(s) e Y(s), onde
X(s)=Lx(t), Y(s)=Ly(t) ]

Passo 2

Fazendo a transformada de Laplace da primeira equação e usando x(0)=0
Lltfracdxdtr=sX(s)-x(0)=sX(s) e L2x+3y=2X(s)+3Y(s)
Logo,
sX(s)=2X(s)+3Y(s)

Passo 3

De modo similar, para a segunda equação com y(0)=0 obtemos
sY(s)-y(0)=sY(s) e L2x+y=2X(s)+Y(s),
logo
sY(s)=2X(s)+Y(s)
Reescrevendo os dois resultados como um sistema linear em X(s) e Y(s):
(s-2),X(s)-3,Y(s)=0,[4pt] -2,X(s)+(s-1),Y(s)=0 ]

Passo 4

Esse é um sistema homogêneo cuja única solução é
X(s)=0, Y(s)=0,
porque o determinante do sistema
D=(s-2)(s-1)-(-2)cdot(-3)=s^2-3s-4neq0 (para quase todo (s)),
implica trivialidade em X(s), Y(s).

Passo 5

Aplicando a transformada inversa, como X(s)=0 e Y(s)=0, segue
x(t)=L^-10=0, y(t)=L^-10=0

Resposta

x(t)=0, y(t)=0

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