[05] Determine a solução do seguinte sistema de equações diferenciais, onde , e , utilize transformada de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, o sistema
sujeito às condições iniciais x(0)=0 e y(0)=0. Vamos aplicar transformada de Laplace a cada equação para obter um sistema algébrico em X(s) e Y(s), onde
X(s)=Lx(t), Y(s)=Ly(t) ]
Passo 2
Fazendo a transformada de Laplace da primeira equação e usando x(0)=0 dá
Lltfracdxdtr=sX(s)-x(0)=sX(s) e L2x+3y=2X(s)+3Y(s)
Logo,
sX(s)=2X(s)+3Y(s)
Passo 3
De modo similar, para a segunda equação com y(0)=0 obtemos
sY(s)-y(0)=sY(s) e L2x+y=2X(s)+Y(s),
logo
sY(s)=2X(s)+Y(s)
Reescrevendo os dois resultados como um sistema linear em X(s) e Y(s):
(s-2),X(s)-3,Y(s)=0,[4pt] -2,X(s)+(s-1),Y(s)=0 ]
Passo 4
Esse é um sistema homogêneo cuja única solução é
X(s)=0, Y(s)=0,
porque o determinante do sistema
D=(s-2)(s-1)-(-2)cdot(-3)=s^2-3s-4neq0 (para quase todo (s)),
implica trivialidade em X(s), Y(s).
Passo 5
Aplicando a transformada inversa, como X(s)=0 e Y(s)=0, segue