Ouestão 13. Calcule as constantes a, b, c e d de modo que:
lim x b x^2-ax-b=4

Passo 1

O enunciado pede para achar constantes a, b, c e d tais que
limxto bx^2-ax-b=4
O tema aqui é limite na forma 00 e podemos usar fatoração ou a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Para o limite ser finito e bem definido, ao substituir x=b deve dar forma tfrac00. Logo exigimos
b^2-a=0 Longrightarrow a=b^2

Passo 3

Com a=b^2, observe que
x^2-ax-b =x^2-b^2x-b =(x-b)(x+b)x-b =x+b
Logo
limxto bx^2-ax-b =limxto b(x+b) =2b
Para que isso valha 4, impomos
2b=4 Longrightarrow b=2

Passo 4

Substituindo b=2 em a=b^2, obtemos
a=2^2=4
As constantes c e d não aparecem na expressão do limite, portanto não são determinadas por esta condição (podem ser quaisquer reais).

Resposta

a = 4, b = 2, c e d quaisquer números reais.

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