04 - Valor: 6 pontos Considere o polinômio \boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})=\mathbf{2} \boldsymbol{x}^{\mathbf{2}}+\boldsymbol{n} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{n}, sendo \boldsymbol{n} um número inteiro positivo.
a) Encontre a(s) raiz(es) de p(x) no caso em que n=8. Justifique sua resposta.
b) Determine todos os valores possíveis de n, de forma que p(x) não possua raízes reais. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=2x^{2}+nx+n, com n sendo um número inteiro positivo. Ele faz duas perguntas:
a) No caso n=8: encontre a(s) raiz(es) de p(x) e justifique.
b) Em geral: determine todos os valores de n (inteiros positivos) tais que p(x) não tenha raízes reais, e justifique.
Informações relevantes dadas:
  • Coeficiente quadrático: a=2.
  • Coeficiente linear: b=n.
  • termo constante: c=n.
  • n é inteiro positivo.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta essencial para quadráticas: a fórmula de Bhaskara e o discriminante. Para uma equação quadrática geral ax^{2}+bx+c=0:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde o discriminante \Delta é
\Delta=b^{2}-4ac.
O papel do discriminante:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas.
  • Se \Delta=0: uma raiz real dupla (raiz única com multiplicidade 2).
  • Se \Delta<0: nenhuma raiz real (raízes complexas conjugadas).
    Aqui a=2, b=n, c=n. Vou usar isso para as duas partes.

Passo 3

Parte (a): calcule \Delta para n=8. Substituindo b=n=8, a=2, c=n=8,
\Delta = n^{2}-4\cdot 2\cdot n = n^{2}-8n.
Para n=8 temos
\Delta = 8^{2}-8\cdot 8 = 64-64 = 0.

Passo 4

Como \Delta=0, existe uma única raiz real dupla dada por
x=\frac{-b}{2a}=\frac{-n}{2\cdot 2}=\frac{-n}{4}.
Substituindo n=8,
x=\frac{-8}{4}=-2.
Portanto a única raiz (com multiplicidade 2) é x=-2. Justificação: \Delta=0 implica que a expressão \sqrt{\Delta}=0 e a fórmula de Bhaskara dá somente um valor.

Passo 5

Parte (b): queremos todos os n\in\mathbb{Z}_{>0} tais que p(x) não tenha raízes reais. Pela consideração do discriminante, isso equivale a exigir \Delta<0. Usando a expressão do discriminante:
\Delta = n^{2}-8n = n(n-8).
Resolvemos a desigualdade
n(n-8)<0.
Uma produto de dois fatores é negativo quando os fatores têm sinais opostos. As raízes da função quadrática n(n-8) são n=0 e n=8. Assim a expressão é negativa exatamente para 0<n<8.

Passo 6

Como n é um inteiro positivo, os valores inteiros n que satisfazem 0<n<8 são
n\in\{1,2,3,4,5,6,7\}.
Para esses n temos \Delta<0, logo nenhuma raiz real. Observações rápidas para conferir: para n=1 temos \Delta=1-8=-7<0; para n=7 temos \Delta=49-56=-7<0. Para n=8 (caso da parte a) \Delta=0 e para n>8 temos \Delta>0, então aparecem duas raízes reais distintas nesses casos.

Resposta

a) -2
b) n\in\{1,2,3,4,5,6,7\}

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