04 - Valor: 6 pontos Considere o polinômio
, sendo
um número inteiro positivo.
a) Encontre a(s) raiz(es) de
no caso em que
. Justifique sua resposta.
b) Determine todos os valores possíveis de
, de forma que
não possua raízes reais. Justifique sua resposta.
a) Encontre a(s) raiz(es) de
b) Determine todos os valores possíveis de
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
, com
sendo um número inteiro positivo. Ele faz duas perguntas:
a) No caso : encontre a(s) raiz(es) de
e justifique.
b) Em geral: determine todos os valores de (inteiros positivos) tais que
não tenha raízes reais, e justifique.
a) No caso
b) Em geral: determine todos os valores de
Informações relevantes dadas:
- Coeficiente quadrático:
. - Coeficiente linear:
. - termo constante:
. -
é inteiro positivo.
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta essencial para quadráticas: a fórmula de Bhaskara e o discriminante. Para uma equação quadrática geral
:
onde o discriminante
é
O papel do discriminante:
- Se
: duas raízes reais distintas. - Se
: uma raiz real dupla (raiz única com multiplicidade 2). - Se
: nenhuma raiz real (raízes complexas conjugadas).
Aqui, , . Vou usar isso para as duas partes.
Passo 3
Parte (a): calcule
para
. Substituindo
,
,
,
Para
temos
Passo 4
Como
, existe uma única raiz real dupla dada por
Substituindo
,
Portanto a única raiz (com multiplicidade 2) é
. Justificação:
implica que a expressão
e a fórmula de Bhaskara dá somente um valor.
Passo 5
Parte (b): queremos todos os
tais que
não tenha raízes reais. Pela consideração do discriminante, isso equivale a exigir
. Usando a expressão do discriminante:
Resolvemos a desigualdade
Uma produto de dois fatores é negativo quando os fatores têm sinais opostos. As raízes da função quadrática
são
e
. Assim a expressão é negativa exatamente para
.
Passo 6
Como
é um inteiro positivo, os valores inteiros
que satisfazem
são
Para esses
temos
, logo nenhuma raiz real. Observações rápidas para conferir: para
temos
; para
temos
. Para
(caso da parte a)
e para
temos
, então aparecem duas raízes reais distintas nesses casos.
Resposta
a)
b)