05 Uma amostra de um gás ideal ocupa um volume de 60 mL , a 0,8 \mathrm{~atm} \mathrm{e}-73^{\circ} \mathrm{C}. Que volume ocupará esse mesmo gás a 0,4 \mathrm{~atm} e a 127^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de gás ideal nas condições iniciais e pede o volume nas condições finais. Dados fornecidos (daqui para frente tudo entre parênteses matemáticos quando houver número ou variável):
  • Volume inicial: V_1 = 60\\ \text{mL}.
  • Pressão inicial: P_1 = 0,8\\ \text{atm}.
  • Temperatura inicial: T_{1\,(^\circ C)} = -73^\circ\text{C}.
  • Pressão final: P_2 = 0,4\\ \text{atm}.
  • Temperatura final: T_{2\,(^\circ C)} = 127^\circ\text{C}.
Pergunta: qual o volume V_2 que essa mesma amostra ocupará quando a pressão for P_2 e a temperatura for T_2?

Passo 2

Conceito que vamos usar (aqui explico como e porquê): quando a quantidade de gás é constante (mesma amostra) e o gás pode ser considerado ideal, as variáveis pressão, volume e temperatura estão relacionadas pela lei combinada dos gases. A forma útil é:
\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}.
Explicando cada símbolo:
  • P_1 e P_2 são as pressões inicial e final.
  • V_1 e V_2 são os volumes inicial e final.
  • T_1 e T_2 são as temperaturas absolutas (em kelvin) nos estados inicial e final.
Por que usar kelvin? Porque a lei dos gases exige temperatura absoluta — escalas que têm zero absoluto como referência. Para converter de Celsius para kelvin usamos a fórmula:
T(K) = T(^\circ\text{C}) + 273,15.
Não dá para usar temperaturas em Celsius diretamente na fórmula acima.

Passo 3

Converto as temperaturas fornecidas para kelvin, mostrando passo a passo:
  • Temperatura inicial:
T_1 = -73^\circ\text{C} + 273,15 = 200,15\\ \text{K}.
  • Temperatura final:
T_2 = 127^\circ\text{C} + 273,15 = 400,15\\ \text{K}.
Anota aí: vamos usar T_1 = 200,15\\ \text{K} e T_2 = 400,15\\ \text{K}.

Passo 4

Agora isolo V_2 na lei combinada. Partindo de
\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2},
multiplico ambos os lados por T_2/P_2 para obter:
V_2 = V_1 \cdot \frac{P_1}{P_2} \cdot \frac{T_2}{T_1}.
Essa expressão é direta: o volume final cresce se a pressão diminuir (razão P_1/P_2) e também cresce se a temperatura aumentar (razão T_2/T_1).

Passo 5

Substituo os números conhecidos na expressão. Primeiro calculemos fatores simples:
  • Razão de pressões:
\frac{P_1}{P_2} = \frac{0,8}{0,4} = 2.
  • Razão de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1} = \frac{400,15}{200,15}.
Para facilitar, faço uma aproximação controlada. Note que 200,15 \times 2 = 400,30, então
\frac{400,15}{200,15} = 2 - \frac{0,15}{200,15} \approx 2 - 0,00075 \approx 1,99925.
(Se preferir, dá para usar divisão direta; aqui mostrei a ideia para não depender de calculadora.)
Agora calculo V_2:
V_2 = 60\\ \text{mL} \times 2 \times 1,99925.

Passo 6

Faço a multiplicação final passo a passo:
  • Primeiro 2 \times 1,99925 = 3,9985.
  • Então V_2 = 60 \times 3,9985 = 239,91\\ \text{mL}.
Arredondamento: dado que os dados iniciais estão com poucas casas significativas, é razoável dar a resposta com três algarismos ou arredondar para um valor prático. Assim, podemos informar V_2 \approx 240\\ \text{mL}. Ótimo — conseguimos! Você pode pensar: pressão caiu pela metade, então o volume tende a dobrar; como a temperatura também dobrou quase exatamente, o volume final fica muito perto de quatro vezes o inicial, ou seja, de 60\\ \text{mL} para cerca de 240\\ \text{mL}.

Resposta

240\\ \text{mL}

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