[05] Se A é antissimétrica, prove que
é Definida Positiva (DP)
Passo 1
Enunciado: “Se
é antissimétrica, prove que
é Definida Positiva (DP).”
Informações fornecidas:
-
é antissimétrica, ou seja, . -
é a matriz identidade (do mesmo tamanho que ). - A tarefa é provar que
é definida positiva.
O que se pede provar:
- Mostrar que, para todo vetor não nulo
, vale
Passo 2
Definição essencial (a usar): Uma matriz
é definida positiva (DP) se, para todo vetor não nulo
,
Aqui
é um número real (um escalar) chamado forma quadrática associada a
. Também recorde curto:
é o quadrado da norma euclidiana de
, denotado
, e é sempre positivo para
.
Passo 3
Vamos calcular a forma quadrática de
em um vetor arbitrário
. Escrevemos
Aqui
quando
. Resta analisar
.
Passo 4
Mostramos que
para toda matriz antissimétrica
e todo vetor
. Defina o escalar
Como
é um escalar real, vale
. Mas também
Usando a antissimetria
obtemos
Portanto
, o que implica
. Assim concluímos
Passo 5
Voltando à forma quadrática de
, usando o resultado anterior temos
Como
para todo
, segue que
é definida positiva.
Observação extra (útil para prova prática): a parte simétrica de
é
que é claramente positiva definida; isso esclarece porque a forma quadrática é exatamente
.