[05] Se A é antissimétrica, prove que
\mathbf{I}+\mathbf{A} é Definida Positiva (DP)

Passo 1

Enunciado: “Se A é antissimétrica, prove que \mathbf{I}+\mathbf{A} é Definida Positiva (DP).”
Informações fornecidas:
  • A é antissimétrica, ou seja, A^{T} = -A.
  • \mathbf{I} é a matriz identidade (do mesmo tamanho que A).
  • A tarefa é provar que \mathbf{I}+\mathbf{A} é definida positiva.
O que se pede provar:
  • Mostrar que, para todo vetor não nulo x\in\mathbb{R}^{n}, vale
x^{T}(\mathbf{I}+\mathbf{A})x>0.

Passo 2

Definição essencial (a usar): Uma matriz M é definida positiva (DP) se, para todo vetor não nulo x\in\mathbb{R}^{n},
x^{T} M x>0.
Aqui x^{T} M x é um número real (um escalar) chamado forma quadrática associada a M. Também recorde curto: x^{T}x é o quadrado da norma euclidiana de x, denotado \lVert x\rVert^{2}, e é sempre positivo para x\neq 0.

Passo 3

Vamos calcular a forma quadrática de \mathbf{I}+\mathbf{A} em um vetor arbitrário x\neq 0. Escrevemos
x^{T}(\mathbf{I}+\mathbf{A})x = x^{T}\mathbf{I}x + x^{T}\mathbf{A}x.
Aqui x^{T}\mathbf{I}x = x^{T}x = \lVert x\rVert^{2}>0 quando x\neq 0. Resta analisar x^{T}\mathbf{A}x.

Passo 4

Mostramos que x^{T}\mathbf{A}x=0 para toda matriz antissimétrica A e todo vetor x. Defina o escalar
s := x^{T}\mathbf{A}x.
Como s é um escalar real, vale s = s^{T}. Mas também
s^{T} = (x^{T}\mathbf{A}x)^{T} = x^{T}\mathbf{A}^{T}x.
Usando a antissimetria \mathbf{A}^{T}=-\mathbf{A} obtemos
s^{T} = x^{T}(-\mathbf{A})x = -\,x^{T}\mathbf{A}x = -s.
Portanto s = s^{T} = -s, o que implica s = 0. Assim concluímos
x^{T}\mathbf{A}x = 0\quad\text{para todo }x.

Passo 5

Voltando à forma quadrática de \mathbf{I}+\mathbf{A}, usando o resultado anterior temos
x^{T}(\mathbf{I}+\mathbf{A})x = \lVert x\rVert^{2} + 0 = \lVert x\rVert^{2}.
Como \lVert x\rVert^{2}>0 para todo x\neq 0, segue que \mathbf{I}+\mathbf{A} é definida positiva.
Observação extra (útil para prova prática): a parte simétrica de \mathbf{I}+\mathbf{A} é
\frac{(\mathbf{I}+\mathbf{A})+(\mathbf{I}+\mathbf{A})^{T}}{2} = \frac{2\mathbf{I} + \mathbf{A} + \mathbf{A}^{T}}{2} = \mathbf{I},
que é claramente positiva definida; isso esclarece porque a forma quadrática é exatamente \lVert x\rVert^{2}.

Resposta

\mathbf{I}+\mathbf{A} é definida positiva.

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