[02] (a) Mostre que o determinante de \mathbf{x 1}{ }^{\mathrm{t}} é zero.
(b) Se \mathbf{A 1}=\mathbf{0}, por que \mathbf{A} tem um determinante igual a zero?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Mostrar que o determinante da matriz \mathbf{x}\mathbf{1}^{T} é zero.
  2. (b) Se \mathbf{A}\mathbf{1}=\mathbf{0}, explicar por que \det(\mathbf{A})=0.
Informações dadas e hipóteses que vou usar (implícitas no enunciado):
  • \mathbf{x} é um vetor coluna em \mathbb{R}^{n}.
  • \mathbf{1} é o vetor coluna em \mathbb{R}^{n} cujas entradas são todas 1.
  • Portanto \mathbf{x}\mathbf{1}^{T} é uma matriz n\times n (produto externo).
  • \mathbf{A} é uma matriz quadrada n\times n.
    Não estou inventando nada além disso: são as hipóteses naturais para as expressões \mathbf{x}\mathbf{1}^{T} e \mathbf{A}\mathbf{1} fazerem sentido.

Passo 2

Conceitos úteis e uma propriedade-chave do determinante (explicada devagar):
  • Determinante e dependência linear: se as colunas de uma matriz quadrada são linearmente dependentes, então o determinante dessa matriz é zero. Isto é uma propriedade padrão do determinante.
    • Intuição simples: o determinante mede “volume” do paralelepípedo gerado pelas colunas. Se as colunas são linearmente dependentes, o paralelepípedo tem volume nulo.
    • Propriedade prática fácil de usar: se duas colunas são idênticas (ou proporcionais de forma que haja dependência), já basta para concluir que o determinante é zero. Um argumento curto: trocar duas colunas muda o sinal do determinante; se duas colunas são iguais, trocar não altera a matriz, então o determinante tem de ser igual ao seu negativo, logo é zero.
  • Produto externo e colunas: a matriz \mathbf{x}\mathbf{1}^{T} é construída de forma que cada coluna é um múltiplo de \mathbf{x} (no caso do vetor \mathbf{1}, cada múltiplo é 1, então cada coluna é exatamente \mathbf{x}). Vou usar essa observação concreta.

Passo 3

Análise direta de \mathbf{x}\mathbf{1}^{T} por entradas e colunas (passo a passo):
  • A entrada na linha i e coluna j da matriz \mathbf{x}\mathbf{1}^{T} é
(\mathbf{x}\mathbf{1}^{T})_{ij}=x_{i}\cdot 1_{j}.
  • Como 1_{j}=1 para todo j, isso dá
(\mathbf{x}\mathbf{1}^{T})_{ij}=x_{i}.
  • Então a coluna j (toda a coluna) é exatamente o vetor \mathbf{x}:
\text{coluna }j\text{ de }\mathbf{x}\mathbf{1}^{T}=\mathbf{x}\quad\text{para todo }j=1,\dots,n.
  • Conclusão lógica (usando a propriedade do Passo 2): todas as colunas são iguais, portanto as colunas são linearmente dependentes (há relações não-triviais entre elas). Pelo que vimos, isso implica que o determinante de \mathbf{x}\mathbf{1}^{T} é zero.

Passo 4

Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (iguais colunas levam a determinante zero):
  • Tome n=2, \mathbf{x}=\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}. Então
\mathbf{x}\mathbf{1}^{T}=\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & a\\\ b & b\end{pmatrix}.
  • As duas colunas são idênticas, e de fato o determinante é
\det\begin{pmatrix}a & a\\\ b & b\end{pmatrix}=a\cdot b - a\cdot b = 0.
  • Esse exemplo ilustra a regra geral usada no Passo 3.

Passo 5

Comentário alternativo (rank) — outra maneira de entender por que o determinante some zero:
  • A matriz \mathbf{x}\mathbf{1}^{T} é um produto externo; matrizes desse tipo têm posto (rank) no máximo 1, pois todas as colunas pertencem ao subespaço gerado por \mathbf{x}.
  • Se n\ge 2, uma matriz n\times n com posto <n não é invertível, e matriz não invertível tem determinante zero.
  • (Para n=1 o mesmo resultado também vale: \mathbf{x}\mathbf{1}^{T} é a matriz 1\times1 cujo único elemento é x_1, e o argumento direto do Passo 3 também dá consistência.)

Passo 6

Agora a parte (b): interpretação de \mathbf{A}\mathbf{1}=\mathbf{0} e consequência para o determinante
  • Escreva \mathbf{A}=[\mathbf{a}_{1}\\ \mathbf{a}_{2}\\ \dots\\ \mathbf{a}_{n}], onde \mathbf{a}_{j} são as colunas de \mathbf{A}.
  • O produto \mathbf{A}\mathbf{1} é a soma das colunas:
\mathbf{A}\mathbf{1}=\mathbf{a}_{1}+\mathbf{a}_{2}+\cdots+\mathbf{a}_{n}.
  • A hipótese \mathbf{A}\mathbf{1}=\mathbf{0} diz exatamente que
\mathbf{a}_{1}+\mathbf{a}_{2}+\cdots+\mathbf{a}_{n}=\mathbf{0}.
  • Isso é uma relação linear não-trivial entre as colunas (os coeficientes todos 1 não são todos zero), ou seja, as colunas são linearmente dependentes.
  • Pelo mesmo princípio do Passo 2, colunas linearmente dependentes implicam que a matriz não é invertível, logo o determinante de \mathbf{A} é zero.
  • Observação de consistência para n=1: \mathbf{A}\mathbf{1}=\mathbf{0} implica que o único elemento de \mathbf{A} é zero, então \det(\mathbf{A})=0 também nesse caso.

Resposta

(a) 0
(b) 0

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