[02] (a) Mostre que o determinante de
é zero.
(b) Se
, por que
tem um determinante igual a zero?
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Mostrar que o determinante da matriz
é zero. - (b) Se
, explicar por que .
Informações dadas e hipóteses que vou usar (implícitas no enunciado):
-
é um vetor coluna em . -
é o vetor coluna em cujas entradas são todas . - Portanto
é uma matriz (produto externo). -
é uma matriz quadrada .
Não estou inventando nada além disso: são as hipóteses naturais para as expressõese fazerem sentido.
Passo 2
Conceitos úteis e uma propriedade-chave do determinante (explicada devagar):
- Determinante e dependência linear: se as colunas de uma matriz quadrada são linearmente dependentes, então o determinante dessa matriz é zero. Isto é uma propriedade padrão do determinante.
- Intuição simples: o determinante mede “volume” do paralelepípedo gerado pelas colunas. Se as colunas são linearmente dependentes, o paralelepípedo tem volume nulo.
- Propriedade prática fácil de usar: se duas colunas são idênticas (ou proporcionais de forma que haja dependência), já basta para concluir que o determinante é zero. Um argumento curto: trocar duas colunas muda o sinal do determinante; se duas colunas são iguais, trocar não altera a matriz, então o determinante tem de ser igual ao seu negativo, logo é zero.
- Produto externo e colunas: a matriz
é construída de forma que cada coluna é um múltiplo de (no caso do vetor , cada múltiplo é , então cada coluna é exatamente ). Vou usar essa observação concreta.
Passo 3
Análise direta de
por entradas e colunas (passo a passo):
- A entrada na linha
e coluna da matriz é
- Como
para todo , isso dá
- Então a coluna
(toda a coluna) é exatamente o vetor :
- Conclusão lógica (usando a propriedade do Passo 2): todas as colunas são iguais, portanto as colunas são linearmente dependentes (há relações não-triviais entre elas). Pelo que vimos, isso implica que o determinante de
é zero.
Passo 4
Um exemplo numérico rápido para fixar a ideia (iguais colunas levam a determinante zero):
- Tome
, . Então
- As duas colunas são idênticas, e de fato o determinante é
- Esse exemplo ilustra a regra geral usada no Passo 3.
Passo 5
Comentário alternativo (rank) — outra maneira de entender por que o determinante some zero:
- A matriz
é um produto externo; matrizes desse tipo têm posto (rank) no máximo , pois todas as colunas pertencem ao subespaço gerado por . - Se
, uma matriz com posto não é invertível, e matriz não invertível tem determinante zero. - (Para
o mesmo resultado também vale: é a matriz cujo único elemento é , e o argumento direto do Passo 3 também dá consistência.)
Passo 6
Agora a parte (b): interpretação de
e consequência para o determinante
- Escreva
, onde são as colunas de . - O produto
é a soma das colunas:
- A hipótese
diz exatamente que
- Isso é uma relação linear não-trivial entre as colunas (os coeficientes todos
não são todos zero), ou seja, as colunas são linearmente dependentes. - Pelo mesmo princípio do Passo 2, colunas linearmente dependentes implicam que a matriz não é invertível, logo o determinante de
é zero. - Observação de consistência para
: implica que o único elemento de é zero, então também nesse caso.
Resposta
(a)
(b)
(b)