[04] Se \mathbf{x} e \mathbf{y} são vetores de coluna n \times 1 e \mathbf{A} e \mathbf{B} são matrizes n \times n, quais das seguintes expressões são indefinidas ? Das que são definidas, quais são produtos externos, formas bilineares ou formas quadráticas?
a) \mathbf{y}=\mathbf{A x}.
b) \mathbf{x y}=\mathbf{A}^{\mathrm{t}} \mathbf{B}.
c) \mathbf{x}^{t} \mathbf{B} \mathbf{x}.
d) \mathbf{y B x}.
e) \mathbf{y}^{t} \mathbf{B}^{t} \mathbf{A} \mathbf{x}.
f) \mathbf{x}^{t}=\mathbf{y}^{t} \mathbf{B}^{t}.
g) \mathbf{x}^{t} \mathbf{B y}.
h) \mathbf{x}^{t} \mathbf{A}^{t} \mathbf{B y}.
i) \mathbf{x} \mathbf{y}^{t}=\mathbf{B}^{t}.
j) \mathbf{y}+\left[\begin{array}{c}20 \\\\ 30\end{array}\right]=\mathbf{A B}^{\mathrm{t}} \mathbf{x} for n=2
Para \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right], \mathbf{B}=\left[\begin{array}{ll}3 & 6 \\\\ 4 & 8\end{array}\right], \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2\end{array}\right] and \mathbf{y}=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 4\end{array}\right]
(i) Verifique a validade das equações que são definidas;
(ii) calcular o valor das demais expressões definidas.

Passo 1

O enunciado dá: \mathbf{x} e \mathbf{y} são vetores coluna n\times1; \mathbf{A} e \mathbf{B} são matrizes n\times n. Pecebe-se uma lista de expressões (a) a (j) e pede-se:
  1. identificar quais expressões são indefinidas (por incompatibilidade de dimensões);
  2. das definidas, classificar cada uma como produto externo, forma bilinear, forma quadrática ou outra (por ex., igualdade entre vetores);
  3. com n=2 e os dados
\mathbf{A}=\begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 1\end{bmatrix},\quad \mathbf{B}=\begin{bmatrix}3 & 6\\[4pt]4 & 8\end{bmatrix},\quad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}1\\[4pt]2\end{bmatrix},\quad \mathbf{y}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix},
(i) verificar a validade das equações que aparecem no enunciado e que são definidas;
(ii) calcular o valor das demais expressões definidas.
Informações relevantes dadas (lista explícita):
\mathbf{x} é n\times1.
\mathbf{y} é n\times1.
\mathbf{A},\mathbf{B} são n\times n.
As expressões (a)–(j) aparecem tal como no enunciado e devem ser analisadas quanto a definição e classificação; depois, usar os valores numéricos fornecidos para verificar/avaliar.]

Passo 2

Regra básica de dimensões (mini-aula prática): para multiplicação de matrizes/vetores, se M é p\times q e N é r\times s, a multiplicação MN só está definida se q=r; o resultado terá dimensão p\times s. Vou aplicar isso a cada item e dizer se está definido.
a) \mathbf{y}=\mathbf{A x}.
\mathbf{A} é n\times n e \mathbf{x} é n\times1 então \mathbf{A}\mathbf{x} é n\times1. O lado esquerdo \mathbf{y} é n\times1. Portanto a igualdade é bem formada — DEFINIDA.
b) \mathbf{x y}=\mathbf{A}^{t} \mathbf{B}.
\mathbf{x} é n\times1 e \mathbf{y} é n\times1. O produto matricial \mathbf{x}\mathbf{y} exigiria que o número de colunas de \mathbf{x} (que é 1) fosse igual ao número de linhas de \mathbf{y} (que é n); como 1\neq n (exceto n=1), o produto \mathbf{x}\mathbf{y} não é definido em geral. Note: existe o produto externo \mathbf{x}\mathbf{y}^t que é n\times n, mas o enunciado escreveu \mathbf{x y} sem transpor \mathbf{y}. Portanto, para n\ge2 (caso geral) a expressão dada é INDEFINIDA.
c) \mathbf{x}^{t} \mathbf{B} \mathbf{x}.
\mathbf{x}^t é 1\times n; \mathbf{B} é n\times n; \mathbf{x} é n\times1. A multiplicação é conformável e resulta em 1\times1 (um escalar). DEFINIDA.
d) \mathbf{y B x}.
Interpretando como produto matricial na ordem dada: \mathbf{y} é n\times1 e \mathbf{B} é n\times n. O produto \mathbf{y}\mathbf{B} tentaria multiplicar n\times1 por n\times n: as dimensões internas 1 e n não coincidem em geral, logo \mathbf{y}\mathbf{B} é INDEFINIDO. (Se quisessem \mathbf{y}^T \mathbf{B} \mathbf{x}, aí estaria definido, mas não é o caso.)
e) \mathbf{y}^{t} \mathbf{B}^{t} \mathbf{A} \mathbf{x}.
\mathbf{y}^t é 1\times n, \mathbf{B}^t é n\times n, \mathbf{A} é n\times n, \mathbf{x} é n\times1. A multiplicação é conformável e dá um escalar 1\times1. DEFINIDA.
f) \mathbf{x}^{t}=\mathbf{y}^{t} \mathbf{B}^{t}.
\mathbf{x}^t é 1\times n. \mathbf{y}^t é 1\times n e \mathbf{B}^t é n\times n. O produto \mathbf{y}^t\mathbf{B}^t é 1\times n. Assim a igualdade entre vetores-linha é bem formada. DEFINIDA (é uma igualdade entre vetores linha).
g) \mathbf{x}^{t} \mathbf{B y}.
\mathbf{x}^t é 1\times n; \mathbf{B} é n\times n; \mathbf{y} é n\times1. O produto é um escalar 1\times1. DEFINIDA.
h) \mathbf{x}^{t} \mathbf{A}^{t} \mathbf{B y}.
\mathbf{x}^t é 1\times n; \mathbf{A}^t é n\times n; \mathbf{B} é n\times n; \mathbf{y} é n\times1. Resultado escalar. DEFINIDA.
i) \mathbf{x} \mathbf{y}^{t}=\mathbf{B}^{t}.
\mathbf{x} é n\times1; \mathbf{y}^t é 1\times n; o produto \mathbf{x}\mathbf{y}^t é n\times n. \mathbf{B}^t é n\times n. A igualdade é bem formada. DEFINIDA (é um produto externo/outer product).
j) \mathbf{y}+\begin{bmatrix}20\\[4pt]30\end{bmatrix}=\mathbf{A B}^{t} \mathbf{x} para n=2.
Com n=2, o vetor \begin{bmatrix}20\\\ 30\end{bmatrix} é 2\times1, \mathbf{y} também é 2\times1, e \mathbf{A}\mathbf{B}^t\mathbf{x} é 2\times1. Assim a igualdade entre vetores 2\times1 é DEFINIDA quando n=2.
Resumo desta etapa (definidas vs indefinidas):
Indefinidas: (b), (d).
Definidas: (a), (c), (e), (f), (g), (h), (i), (j).]

Passo 3

Mini-aula sobre tipos de expressões (para classificar):
  • Produto externo (outer product): é algo da forma \mathbf{u}\mathbf{v}^t; resulta numa matriz n\times n quando \mathbf{u},\mathbf{v} são n\times1.
  • Forma bilinear em \mathbf{x},\mathbf{y}: expressão escalar da forma \mathbf{x}^t M \mathbf{y} com M matriz fixa; é linear em cada argumento separadamente.
  • Forma quadrática em \mathbf{x}: expressão escalar da forma \mathbf{x}^t M \mathbf{x}; depende quadraticamente de \mathbf{x}.
  • Igualdade vetorial ou transformação linear: por exemplo \mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x} é simplesmente uma aplicação linear/vetor igual a outro.
Agora classifico cada expressão definida:
a) \mathbf{y}=\mathbf{A x}: igualdade entre vetores; é uma transformação linear aplicada a \mathbf{x} que dá \mathbf{y}. (Nem bilinear nem quadrática nem outer product.)
c) \mathbf{x}^{t} \mathbf{B} \mathbf{x}: é uma FORMA QUADRÁTICA em \mathbf{x}.
e) \mathbf{y}^{t} \mathbf{B}^{t} \mathbf{A} \mathbf{x}: é uma FORMA BILINEAR em \mathbf{x} e \mathbf{y} (matriz efetiva \mathbf{B}^t\mathbf{A}).
f) \mathbf{x}^{t}=\mathbf{y}^{t} \mathbf{B}^{t}: igualdade entre vetores-linha; não é bilinear nem quadrática — apenas uma igualdade vetorial.
g) \mathbf{x}^{t} \mathbf{B y}: FORMA BILINEAR (matriz \mathbf{B}).
h) \mathbf{x}^{t} \mathbf{A}^{t} \mathbf{B y}: FORMA BILINEAR (matriz \mathbf{A}^t\mathbf{B}).
i) \mathbf{x} \mathbf{y}^{t}=\mathbf{B}^{t}: o lado esquerdo é um PRODUTO EXTERNO (outer product) \mathbf{x}\mathbf{y}^t. A igualdade demanda que esse outer product coincida com \mathbf{B}^t.
j) \mathbf{y}+\begin{bmatrix}20\\[4pt]30\end{bmatrix}=\mathbf{A B}^{t} \mathbf{x} ( n=2): igualdade entre vetores (transformação linear + soma de vetor).]

Passo 4

Agora vou calcular numericamente as expressões definidas com os dados fornecidos. Vou mostrar passo a passo as multiplicações (sem pular etapas).
Primeiro, recalculemos produtos úteis que aparecem várias vezes:
Calcule \mathbf{A}\mathbf{x}:
\mathbf{A}\mathbf{x}= \begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\[4pt]2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\cdot1+1\cdot2\\[4pt]2\cdot1+1\cdot2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix}.
Observe: esse resultado coincide com \mathbf{y} dado ( \mathbf{y}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix}).
Calcule \mathbf{B}\mathbf{x}:
\mathbf{B}\mathbf{x}= \begin{bmatrix}3 & 6\\[4pt]4 & 8\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\[4pt]2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\cdot1+6\cdot2\\[4pt]4\cdot1+8\cdot2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}15\\[4pt]20\end{bmatrix}.
Calcule \mathbf{B}\mathbf{y} (vai aparecer em vários lugares):
\mathbf{B}\mathbf{y}= \begin{bmatrix}3 & 6\\[4pt]4 & 8\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\cdot3+6\cdot4\\[4pt]4\cdot3+8\cdot4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}33\\[4pt]44\end{bmatrix}.
Calcule \mathbf{B}^t e \mathbf{A}^t:
\mathbf{B}^t=\begin{bmatrix}3 & 4\\[4pt]6 & 8\end{bmatrix},\qquad \mathbf{A}^t=\begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix}.
Calcule \mathbf{B}^t\mathbf{x}:
\mathbf{B}^t\mathbf{x}= \begin{bmatrix}3 & 4\\[4pt]6 & 8\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\[4pt]2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\cdot1+4\cdot2\\[4pt]6\cdot1+8\cdot2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}11\\[4pt]22\end{bmatrix}.
Calcule \mathbf{A}(\mathbf{B}^t\mathbf{x}) (para usar em (j)):
\mathbf{A}\big(\mathbf{B}^t\mathbf{x}\big)= \begin{bmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}11\\[4pt]22\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\cdot11+1\cdot22\\[4pt]2\cdot11+1\cdot22\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}33\\[4pt]44\end{bmatrix}.]

Passo 5

Agora avalio cada expressão definida e, quando for uma equação do enunciado, verifico se a igualdade é verdadeira com os dados.
a) \mathbf{y}=\mathbf{A x}.
Já calculamos \mathbf{A}\mathbf{x}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix}. Como esse vetor é exatamente \mathbf{y} dado, a igualdade é VERDADEIRA. Resultado numérico do lado direito: \begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix}.
b) INDEFINIDA — não há cálculo.
c) \mathbf{x}^{t} \mathbf{B} \mathbf{x}.
Calculei \mathbf{B}\mathbf{x}=\begin{bmatrix}15\\[4pt]20\end{bmatrix}. Agora
\mathbf{x}^t(\mathbf{B}\mathbf{x})= \begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}15\\[4pt]20\end{bmatrix} =1\cdot15+2\cdot20=15+40=55.
Portanto o valor é 55. (Isto é uma forma quadrática.)
d) INDEFINIDA — não há cálculo.
e) \mathbf{y}^{t} \mathbf{B}^{t} \mathbf{A} \mathbf{x}.
Calculando por etapas: \mathbf{A}\mathbf{x}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix} (já feito).
\mathbf{B}^t(\mathbf{A}\mathbf{x})=\begin{bmatrix}3 & 4\\[4pt]6 & 8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}25\\[4pt]50\end{bmatrix}.
Agora \mathbf{y}^t[\cdot]=\begin{bmatrix}3 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}25\\[4pt]50\end{bmatrix}=3\cdot25+4\cdot50=75+200=275.
Valor: 275.
f) \mathbf{x}^{t}=\mathbf{y}^{t} \mathbf{B}^{t}.
Calculei \mathbf{y}^t\mathbf{B}^t=(\mathbf{B}\mathbf{y})^t=\begin{bmatrix}33 & 44\end{bmatrix}. O lado esquerdo é \mathbf{x}^t=\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}. Comparando,
\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}\neq\begin{bmatrix}33 & 44\end{bmatrix}.
Portanto a igualdade é FALSA.
g) \mathbf{x}^{t} \mathbf{B y}.
Usei \mathbf{B}\mathbf{y}=\begin{bmatrix}33\\[4pt]44\end{bmatrix}. Então
\mathbf{x}^t(\mathbf{B}\mathbf{y})=\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}33\\[4pt]44\end{bmatrix}=1\cdot33+2\cdot44=33+88=121.
Valor: 121.
h) \mathbf{x}^{t} \mathbf{A}^{t} \mathbf{B y}.
Já temos \mathbf{B}\mathbf{y}=\begin{bmatrix}33\\[4pt]44\end{bmatrix}. Calcule \mathbf{A}^t(\mathbf{B}\mathbf{y}):
\mathbf{A}^t\begin{bmatrix}33\\[4pt]44\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}33\\[4pt]44\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\cdot33+2\cdot44\\[4pt]1\cdot33+1\cdot44\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}121\\[4pt]77\end{bmatrix}.
Agora \mathbf{x}^t multiplica esse vetor:
\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}121\\[4pt]77\end{bmatrix}=1\cdot121+2\cdot77=121+154=275.
Valor: 275. (Note: coincide com (e), como deveria, porque ambos são escalares relacionados por transposição.)
i) \mathbf{x} \mathbf{y}^{t}=\mathbf{B}^{t}.
Compute \mathbf{x}\mathbf{y}^t:
\mathbf{x}\mathbf{y}^t= \begin{bmatrix}1\\[4pt]2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\cdot3 & 1\cdot4\\[4pt]2\cdot3 & 2\cdot4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3 & 4\\[4pt]6 & 8\end{bmatrix}.
\mathbf{B}^t já foi calculada e é \begin{bmatrix}3 & 4\\[4pt]6 & 8\end{bmatrix}. Logo a igualdade é VERDADEIRA.
j) \mathbf{y}+\begin{bmatrix}20\\[4pt]30\end{bmatrix}=\mathbf{A B}^{t} \mathbf{x} para n=2.
Calculei \mathbf{A}\mathbf{B}^t\mathbf{x}=\begin{bmatrix}33\\[4pt]44\end{bmatrix}. O lado esquerdo é
\mathbf{y}+\begin{bmatrix}20\\[4pt]30\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}20\\[4pt]30\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}23\\[4pt]34\end{bmatrix}.
Comparando \begin{bmatrix}23\\[4pt]34\end{bmatrix} com \begin{bmatrix}33\\[4pt]44\end{bmatrix}, a igualdade é FALSA.]

Passo 6

Resumo interpretativo e dicas rápidas para prova (mini-conselho didático):
  • Sempre confira dimensões antes de multiplicar: escreva as dimensões de cada fator e verifique o casamento das dimensões internas. Isso evita erros tipo (b) e (d).
  • Para reconhecer tipos: se termina em \mathbf{x}^t M \mathbf{x} é quadrática; se é \mathbf{x}^t M \mathbf{y} é bilinear; se é \mathbf{u}\mathbf{v}^t é produto externo.
  • Para verificar igualdades com números, calcule produtos intermediários reutilizáveis (por ex., \mathbf{A}\mathbf{x}, \mathbf{B}\mathbf{y}) para economizar tempo.

Resposta

a) Definida. Igualdade verdadeira; \mathbf{A}\mathbf{x}=\begin{bmatrix}3\\[4pt]4\end{bmatrix}.
b) Indefinida (produto \mathbf{x}\mathbf{y} não é conformável para n\ge2).
c) Definida. Forma quadrática; \mathbf{x}^t\mathbf{B}\mathbf{x}=55.
d) Indefinida ( \mathbf{y}\mathbf{B} não conformável).
e) Definida. Forma bilinear; \mathbf{y}^t\mathbf{B}^t\mathbf{A}\mathbf{x}=275.
f) Definida. Igualdade vetorial é falsa; \mathbf{x}^t=\begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}, \mathbf{y}^t\mathbf{B}^t=\begin{bmatrix}33 & 44\end{bmatrix}.
g) Definida. Forma bilinear; \mathbf{x}^t\mathbf{B}\mathbf{y}=121.
h) Definida. Forma bilinear; \mathbf{x}^t\mathbf{A}^t\mathbf{B}\mathbf{y}=275.
i) Definida. Produto externo; igualdade verdadeira; \mathbf{x}\mathbf{y}^t=\mathbf{B}^t=\begin{bmatrix}3 & 4\\[4pt]6 & 8\end{bmatrix}.
j) Definida (para n=2). Igualdade falsa; \mathbf{y}+\begin{bmatrix}20\\[4pt]30\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}23\\[4pt]34\end{bmatrix}\neq\mathbf{A}\mathbf{B}^t\mathbf{x}=\begin{bmatrix}33\\[4pt]44\end{bmatrix}.]

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