[08] Para o vetor \mathbf{x}^{\mathrm{t}}=\left[\begin{array}{lllll}1 & 3 & 5 & 7 & 9\end{array}\right], determine os elementos numéricos das matrizes \mathbf{A}, \mathbf{B} e \mathbf{C} de modo que:
1^{2}+3^{2}+5^{2}+7^{2}+9^{2}=\mathbf{x}^{\mathrm{t}} \mathbf{A} \mathbf{x} ;

Passo 1

O enunciado dá o vetor transposto \mathbf{x}^{\mathrm{t}} = \left[\begin{array}{ccccc}1 & 3 & 5 & 7 & 9\end{array}\right] (logo \mathbf{x} é o vetor coluna com entradas 1,3,5,7,9) e pede para determinar os elementos numéricos das matrizes \mathbf{A}, \mathbf{B} e \mathbf{C} de modo que
1^{2}+3^{2}+5^{2}+7^{2}+9^{2} = \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{A}\mathbf{x}.
Aqui eu vou interpretar a tarefa assim: encontrar três matrizes explícitas \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} (todas 5\times5) cujos elementos numéricos são dados, e tais que, para o vetor numérico \mathbf{x} fornecido, cada produto \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{A}\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{B}\mathbf{x} e \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{C}\mathbf{x} resulte no mesmo escalar 1^{2}+3^{2}+5^{2}+7^{2}+9^{2}. Vou dar três matrizes diferentes que satisfazem essa condição e explicar passo a passo por que funcionam.

Passo 2

Primeiro calculemos o valor numérico do lado esquerdo:
1^{2}+3^{2}+5^{2}+7^{2}+9^{2} = 1 + 9 + 25 + 49 + 81.
Somando termo a termo:
1+9=10,\quad 10+25=35,\quad 35+49=84,\quad 84+81=165.
Portanto o escalar desejado é 165. Ou seja, queremos que cada produto \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{M}\mathbf{x} (para \mathbf{M}=\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}) valha 165.

Passo 3

Uma pequena aula sobre a forma quadrática \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{M}\mathbf{x} (didática e prática):
  • Se \mathbf{M}=(m_{ij}) é uma matriz 5\times5 e \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^{\mathrm{t}}, então
\mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{M}\mathbf{x}=\sum_{i=1}^{5}\sum_{j=1}^{5} m_{ij}\,x_i\,x_j.
  • Para o caso de igualdade para todo vetor \mathbf{x} (não é o nosso caso), para obter \sum x_i^2 como forma quadrática seria necessário m_{ii}=1 para todo i e m_{ij}+m_{ji}=0 para i\ne j. Mas atenção: aqui só precisamos que a igualdade ocorra para o vetor numérico específico dado, isto é, só precisamos que a soma dupla acima tomando os valores x_1=1,x_2=3,x_3=5,x_4=7,x_5=9 165.
  • Uma forma prática e simples de garantir que \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{M}\mathbf{x}=165 é escolher \mathbf{M}=\mathbf{I}_5 (matriz identidade 5\times5), porque então \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{I}_5\mathbf{x}=\sum x_i^2. Outra forma é tomar \mathbf{M}=\mathbf{I}_5+\mathbf{K} onde \mathbf{K} é qualquer matriz que satisfaça \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{K}\mathbf{x}=0. Um tipo simples de matriz \mathbf{K} que sempre satisfaz \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{K}\mathbf{x}=0 para todo \mathbf{x} é uma matriz anti-simétrica (skew-symmetric) \mathbf{K}^{\mathrm{t}}=-\mathbf{K}, pois para tal \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{K}\mathbf{x} = -(\mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{K}\mathbf{x}) e o escalar tem de ser zero. Outra possibilidade é escolher \mathbf{K} tal que \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{K}\mathbf{x}=0 especificamente (por exemplo \mathbf{K}=u v^{\mathrm{t}} com u ortogonal a \mathbf{x}, pois então \mathbf{x}^{\mathrm{t}}(u v^{\mathrm{t}})\mathbf{x}=(\mathbf{x}^{\mathrm{t}}u)(v^{\mathrm{t}}\mathbf{x})=0).
  • Vou usar essas ideias para construir três matrizes diferentes e mostrar explicitamente seus elementos.

Passo 4

Construção e verificação da matriz \mathbf{A} (a mais óbvia):
Escolho
\mathbf{A} = \mathbf{I}_5 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Por definição,
\mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{I}_5\mathbf{x}=\sum_{i=1}^5 x_i^2 = 165.
Logo \mathbf{A} satisfaz a condição. (Esse é o caminho mais direto — elementos numéricos: diagonais iguais a 1, demais entradas 0.)]

Passo 5

Construção e verificação da matriz \mathbf{B} usando uma matriz anti-simétrica adicional:
Escolho uma matriz anti-simétrica \mathbf{S} com números simples, por exemplo:
\mathbf{S}= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 & 3\\[4pt] -2 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\[4pt] -3 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que satisfaz \mathbf{S}^{\mathrm{t}}=-\mathbf{S}. Agora defino
\mathbf{B} = \mathbf{I}_5 + \mathbf{S}.
Verificação: para qualquer vetor real \mathbf{x} vale \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{S}\mathbf{x}=0 (propriedade das matrizes anti-simétricas), logo
\mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{B}\mathbf{x}=\mathbf{x}^{\mathrm{t}}(\mathbf{I}_5+\mathbf{S})\mathbf{x}=\mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{I}_5\mathbf{x}+\mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{S}\mathbf{x}=165+0=165.
Assim \mathbf{B} (cuja forma numérica é \mathbf{I}_5+\mathbf{S}) também satisfaz a condição. Note que \mathbf{B} tem as entradas diagonais iguais a 1 e alguns elementos fora da diagonal conforme \mathbf{S}.]

Passo 6

Construção e verificação da matriz \mathbf{C} usando um termo de posto-um que anula ao ser sanduichado por \mathbf{x}:
Escolho um vetor u ortogonal a \mathbf{x}. Por exemplo, tome
u=\begin{pmatrix}3\\[2pt]-1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Calculamos u^{\mathrm{t}}\mathbf{x}=3\cdot1 + (-1)\cdot3 + 0 + 0 + 0 = 3-3=0, então u é ortogonal a \mathbf{x}. Escolho v simples, por exemplo v=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Defino a matriz de posto um
\mathbf{N} = u\,v^{\mathrm{t}} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Note que
\mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{N}\mathbf{x} = (\mathbf{x}^{\mathrm{t}}u)(v^{\mathrm{t}}\mathbf{x}) = (u^{\mathrm{t}}\mathbf{x})(v^{\mathrm{t}}\mathbf{x}) = 0\cdot (v^{\mathrm{t}}\mathbf{x}) = 0.
Agora defino
\mathbf{C} = \mathbf{I}_5 + \mathbf{N}.
Logo
\mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{C}\mathbf{x} = \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{I}_5\mathbf{x} + \mathbf{x}^{\mathrm{t}}\mathbf{N}\mathbf{x} = 165 + 0 = 165.
Portanto \mathbf{C} também satisfaz a condição. Observe que \mathbf{C} difere de \mathbf{A} e \mathbf{B}: tem uma coluna não nula extra (primeira coluna com 3,-1,0,0,0).]

Resposta

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & 3\\[4pt] -2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\[4pt] -3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

[
\mathbf{C} =
\begin{pmatrix} 1+3 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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