04 - Estime o valor da integral
\int_{1}^{5} \log x d x
usando o método de Simpson e 5 divisões. Estime o erro.

Passo 1

O que o enunciado pede: estimar o valor da integral
\int_{1}^{5} \log x\,dx
usando o método de Simpson com 5 divisões e, além disso, estimar o erro dessa aproximação.
Informações dadas e dados úteis extraídos do enunciado:
\text{Intervalo: }[1,5],\qquad n=5\text{ divisões (subintervalos)}.õ
Como consequência temos a largura de cada subintervalo
h=\frac{5-1}{5}=0,8.
A função a integrar é f(x)=\log x.
Nada mais foi pedido além da aproximação numérica pela regra de Simpson (com 5 divisões) e uma estimativa do erro.

Passo 2

Observação importante sobre o método de Simpson (explicação didática e por que vamos combinar regras):
A forma composta da regra de Simpson (a chamada regra 1/3 composta) requer um número par de subintervalos. Aqui temos n=5 que é ímpar. Para contornar isso sem inventar nada, vamos combinar duas fórmulas de Simpson que são padrões:
  • Regra de Simpson 1/3 aplicada a 2 subintervalos consecutivos (uma aplicação da regra clássica de Simpson): para um bloco de comprimento 2h,
\text{Simpson 1/3 (2 subintervalos)}:\quad \int_{x_0}^{x_2} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\big(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\big).
Aqui h é o tamanho do subintervalo.
  • Regra de Simpson 3/8 aplicada a 3 subintervalos consecutivos (usa 4 nós): para um bloco de comprimento 3h,
\text{Simpson 3/8 (3 subintervalos)}:\quad \int_{x_0}^{x_3} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\big(f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\big).
Como 5=2+3, vamos usar Simpson 1/3 no primeiro bloco de 2 subintervalos [x_0,x_2]=[1,2{,}6] e Simpson 3/8 no bloco de 3 subintervalos [x_2,x_5]=[2{,}6,5]. Essa combinação é padrão quando o número total de subintervalos é ímpar.

Passo 3

Definimos os nós (com h=0{,}8):
x_0=1{,}0,\; x_1=1{,}8,\; x_2=2{,}6,\; x_3=3{,}4,\; x_4=4{,}2,\; x_5=5{,}0.
Calculamos os valores f(x)=\log x em cada nó (vou aproximar com 9-10 casas para ficar preciso):
\begin{aligned} f(x_0)&=\log 1=0,\\\ f(x_1)&=\log 1{,}8\approx 0{,}5877866649,\\\ f(x_2)&=\log 2{,}6\approx 0{,}9555114450,\\\ f(x_3)&=\log 3{,}4\approx 1{,}2237754316,\\\ f(x_4)&=\log 4{,}2\approx 1{,}4350845250,\\\ f(x_5)&=\log 5\approx 1{,}6094379124. \end{aligned}

Passo 4

Aplicamos Simpson 1/3 no primeiro bloco [x_0,x_2]=[1,2{,}6]. A fórmula é
I_1\approx \frac{h}{3}\big(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\big).
Substituindo h=0{,}8 e os valores:
I_1\approx \frac{0{,}8}{3}\big(0 + 4\cdot 0{,}5877866649 + 0{,}9555114450\big).
Calculemos internamente:
4\cdot 0{,}5877866649 = 2{,}3511466596,
0 + 2{,}3511466596 + 0{,}9555114450 = 3{,}3066581046.
Então
I_1\approx \frac{0{,}8}{3}\cdot 3{,}3066581046 = 0{,}2666666667\cdot 3{,}3066581046 \approx 0{,}8817754946.

Passo 5

Aplicamos Simpson 3/8 no segundo bloco [x_2,x_5]=[2{,}6,5{,}0]. A fórmula é
I_2\approx \frac{3h}{8}\big(f(x_2)+3f(x_3)+3f(x_4)+f(x_5)\big).
Com h=0{,}8 temos coeficiente \frac{3h}{8}=\frac{2{,}4}{8}=0{,}3. Substituindo os valores:
I_2\approx 0{,}3\big(0{,}9555114450 + 3\cdot 1{,}2237754316 + 3\cdot 1{,}4350845250 + 1{,}6094379124\big).
Calculemos internamente:
3\cdot 1{,}2237754316 = 3{,}6713262948,
3\cdot 1{,}4350845250 = 4{,}3052535750,
0{,}9555114450 + 3{,}6713262948 + 4{,}3052535750 + 1{,}6094379124 = 10{,}5415292272.
Então
I_2\approx 0{,}3\cdot 10{,}5415292272 \approx 3{,}1624587682.

Passo 6

Somamos as duas parcelas para obter a aproximação total:
I\approx I_1+I_2 \approx 0{,}8817754946 + 3{,}1624587682 = 4{,}0442342628.
Arredondando razoavelmente, a aproximação fica
\int_{1}^{5}\log x\,dx \approx 4{,}0442343.

Passo 7

Estimativa do erro (método e cálculo passo a passo):
Primeiro encontremos a derivada quarta de f(x)=\log x. Derivando:
f'(x)=\frac{1}{x},\quad f''(x)=-\frac{1}{x^2},\quad f'''(x)=\frac{2}{x^3},\quad f^{(4)}(x)=-\frac{6}{x^4}.
Então o módulo é
\big|f^{(4)}(x)\big|=\frac{6}{x^4}.
No intervalo [1,5] o máximo de \big|f^{(4)}(x)\big| ocorre em x=1, portanto podemos tomar
M=\max_{x\in[1,5]}\big|f^{(4)}(x)\big|=6.
Agora usamos as fórmulas de erro das duas regras aplicadas separadamente:
  • Para uma aplicação de Simpson 1/3 num bloco de comprimento 2h (aqui [1,2{,}6], comprimento =2h=1{,}6) o erro em módulo satisfaz (fórmula clássica)
|E_1|\le \frac{\text{comprimento do bloco}}{180}\,h^4\,M = \frac{2h}{180}\,h^4\,M = \frac{1{,}6}{180}\,h^4\,M.
  • Para uma aplicação da regra 3/8 num bloco de comprimento 3h (aqui [2{,}6,5], comprimento =3h=2{,}4) a fórmula de erro (para a aplicação dos 3 subintervalos) dá
|E_2|\le \frac{\text{comprimento do bloco}}{80}\,h^4\,M = \frac{3h}{80}\,h^4\,M = \frac{2{,}4}{80}\,h^4\,M.
Somando as duas estimativas (erro total em módulo)
|E|\le |E_1|+|E_2|\le h^4 M\left(\frac{1{,}6}{180}+\frac{2{,}4}{80}\right).
Agora substituímos h=0{,}8 e M=6. Primeiro calcule h^4:
h^4=(0{,}8)^4=0{,}4096.
Calcule o parêntese:
\frac{1{,}6}{180}+\frac{2{,}4}{80}=0{,}008888\ldots +0{,}03 = 0{,}038888\ldots
Multiplicando:
|E|\le 0{,}4096\cdot 6 \cdot 0{,}038888\ldots
0{,}4096\cdot 6=2{,}4576,
2{,}4576\cdot 0{,}038888\ldots \approx 0{,}095536\\ (\text{aprox.}).
Portanto uma estimativa de cota do erro é
|E|\le 0{,}09554\quad(\text{aprox.}).
Observação (útil para confiança): o valor exato da integral pode ser obtido analiticamente por primitiva x\log x - x. Avaliando em 1 e 5 temos
\int_{1}^{5}\log x\,dx = 5\log 5 - 4 \approx 4{,}0471895622,
então o erro real da nossa aproximação é
\big|4{,}0442342628 - 4{,}0471895622\big|\approx 0{,}0029552994,
o que está bem dentro da cota conservadora 0{,}09554 que calculamos (é normal a cota ser bem maior que o erro real).

Resposta

\displaystyle \text{Aproximação (Simpson com 5 divisões): }4{,}0442343çãõ
\displaystyle \text{Estimativa de cota do erro: }|E|\le 0{,}09554

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