Qual das seguintes relações entre a força F, que age sobre uma partícula, e a posição x da partícula resulta em um movimento harmônico simples: (a) F=-5 x, (b) F=-400 x^{2}, (c) F=10 x ou (d) F=3 x^{2} ?

Passo 1

O enunciado dá quatro relações entre a força \,F, e a posição \,x, da partícula e pergunta qual delas resulta em movimento harmônico simples:
(a) \,F=-5x,
(b) \,F=-400x^{2},
(c) \,F=10x,
(d) \,F=3x^{2}.
A tarefa é identificar qual (ou quais) dessas leis de força geram movimento harmônico simples.

Passo 2

Vou começar lembrando, passo a passo, o que é exatamente “movimento harmônico simples” (MHS) e qual condição matemática a força deve satisfazer para que o movimento seja MHS.
Definição operativa: um movimento é MHS se a equação do movimento pode ser escrita como
m\ddot{x} + kx = 0,
onde \,m>0, é a massa da partícula, \,k>0, é uma constante positiva, e \ddot{x}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} é a aceleração. Essa equação vem de aplicar a segunda lei de Newton \,m\ddot{x}=F, com \,F=-kx. Aqui cada símbolo significa:
  • \,m,: massa da partícula (positiva);
  • \,x(t),: posição da partícula em função do tempo;
  • \,\ddot{x}(t),: segunda derivada temporal de \,x, ou seja, aceleração;
  • \,k,: constante que mede a “rigidez” (quanto maior, maior a frequência).

Passo 3

Por que essa forma leva a oscilações? Substituindo \,F=-kx, em \,m\ddot{x}=F, obtemos
m\ddot{x} + kx = 0.
A resolução padrão (equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes) dá a equação característica
r^{2} + \frac{k}{m} = 0,
cuja solução é
r = \pm i\sqrt{\frac{k}{m}}.
Como as raízes são puramente imaginárias, a solução para \,x(t), é uma combinação de seno e cosseno:
x(t)=A\cos\!\left(\omega t+\varphi\right),
com \,\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}} real. Portanto o movimento é periódico (oscila). Conclusão prática: para haver MHS a força deve ser proporcional a \,x, (dependência linear) e de sentido oposto ao deslocamento (sinal negativo), isto é, deve ter a forma
F=-k x\quad\text{com}\quad k>0.

Passo 4

Aplicando esse critério a cada alternativa: analisar linearidade em \,x, e sinal (restauradora ou não).

Passo 5

Opção (a): \,F=-5x.
Isto é exatamente da forma \,F=-kx, com \,k=5>0. Colocando em Newton:
m\ddot{x} = -5x \quad\Longrightarrow\quad m\ddot{x} + 5x = 0.
A equação característica é r^{2} + \dfrac{5}{m}=0, raízes puramente imaginárias \pm i\sqrt{5/m}, logo a solução é senoidal e o movimento é MHS com frequência angular \omega=\sqrt{5/m}. Portanto (a) gera MHS.

Passo 6

Opção (b): \,F=-400x^{2}.
Aqui a força depende de \,x^{2}, — não é linear em \,x,. A equação do movimento é
m\ddot{x} = -400 x^{2},
que é uma equação diferencial não linear em \,x,. Movimentos harmônicos simples exigem a equação linear m\ddot{x}+kx=0. Além disso, se fizermos a expansão linear em torno de \,x=0, (linearização), o termo linear em \,x, é nulo porque \dfrac{d}{dx}(-400x^{2})\big|_{x=0}=0; não há constante de mola efetiva \,k, diferente de zero que produza MHS para pequenos deslocamentos. Portanto (b) não dá MHS.

Passo 7

Opção (c): \,F=10x.
Isso é linear em \,x, mas o sinal é positivo, ou seja a força aponta no mesmo sentido do deslocamento (é “anti-restauradora”). Colocando em Newton:
m\ddot{x} = 10x \quad\Longrightarrow\quad m\ddot{x} - 10x = 0.
A equação característica é r^{2} - \dfrac{10}{m} = 0, com raízes reais r=\pm\sqrt{10/m}. Solução típica é combinação de exponenciais reais \exp(\pm \sqrt{10/m}\,t), o que descreve crescimento/decaimento exponencial e não oscilações. Portanto (c) não é MHS (é instável, não restaurador).

Passo 8

Opção (d): \,F=3x^{2}.
Novamente dependência quadrática, não linear em \,x,. A equação m\ddot{x}=3x^{2} é não linear e não tem a forma m\ddot{x}+kx=0. A linearização em torno de \,x=0, dá derivada zero, então não aparece um termo linear restaurador para pequenos deslocamentos. Logo (d) também não produz MHS.

Passo 9

Recapitulando de forma simples e prática (para lembrar na prova): MHS precisa de força proporcional a \,x, e com sinal negativo. Isso só acontece na alternativa (a) \,F=-5x).

Resposta

(a)

Exercícios relacionados