Questão 6 - Experimento de Hall: velocidade de arraste v_{d} e densidade n

Enunciado resumido (valores assumidos): Tensiòo de Hall V_{H}=40 \mu \mathrm{~V}, carrente I=3,2 \mathrm{~A}, largura w= 1,2 \mathrm{~cm}=1,2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}, espessura t=9,5 \times 10^{-6} \mathrm{~m}, campo B=1,4 \mathrm{~T}. Calcular velocidade de arraste v_{d} e densidade de portadores n.

Förmulas:

  • Campo elétrico de Hall E_{H}=V_{H} / w.
  • Tambern E_{H}=v_{d} B \Rightarrow v_{d}=E_{H} / B=\frac{V_{H}}{B w}.
  • Densidade de comente j=\frac{I}{A}=\frac{I}{u t}. Mas j= nevd \Rightarrow n=\frac{j}{e v_{d}}=\frac{I}{e v_{d} u t}. Calculo:
  • v_{d}=\frac{40 \times 10^{-6}}{1,4 \times 1,2 \times 10^{-2}} \approx 2,38095 \times 10^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
  • n=\frac{3,2}{\left(1,602176634 \times 10^{-19}\right)\left(2,38095 \times 10^{-3}\right)\left(1,2 \times 10^{-2}\right)\left(9,5 \times 10^{-6}\right)} \approx 7,3584 \times 10^{28} \mathrm{~m}^{-3}.

Resposta final:

  • v_{d} \approx 2,38 \times 10^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
  • n \approx 7,36 \times 10^{28} \mathrm{~m}^{-3}.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou listar exatamente o que temos) e pede para calcular a velocidade de arraste v_{d} e a densidade de portadores n:
V_{H}=40\,\mu\mathrm{V}=40\times 10^{-6}\,\mathrm{V},
I=3{,}2\,\mathrm{A},
w=1{,}2\,\mathrm{cm}=1{,}2\times 10^{-2}\,\mathrm{m},
t=9{,}5\times 10^{-6}\,\mathrm{m},
B=1{,}4\,\mathrm{T}.
O que se pede:
  • Calcular a velocidade de arraste \,v_{d}.
  • Calcular a densidade de portadores \,n.

Passo 2

Entendendo as fórmulas e o porquê delas (aulas rápidas antes de calcular).
  • O efeito Hall cria um campo elétrico lateral E_{H} dada pela diferença de potencial lateral dividida pela largura:
E_{H}=\frac{V_{H}}{w}.
Aqui \,E_{H} é o módulo do campo elétrico que aparece na direção transversal, V_{H} é a tensão Hall medida e w é a largura do conductor onde essa tensão aparece.
  • Sob condições estacionárias, a força elétrica lateral sobre um portador com carga q (ou seja qE_{H}) equilibra a força magnética lateral q v_{d} B (projeto de forças de Lorentz), o que dá a relação
E_{H}=v_{d}B \quad\Rightarrow\quad v_{d}=\frac{E_{H}}{B}.
Isso é porque a força magnética é |q|v_{d}B e a força elétrica é |q|E_{H}; o |q| cancela. Assim podemos obter a velocidade média de deriva v_{d}.
  • A densidade de corrente (intensidade por área) é
j=\frac{I}{A}=\frac{I}{w\,t},
onde A é a área da secção transversal do condutor ( w vezes t). Se os portadores têm carga elemental e, densidade numérica n e velocidade de arraste v_{d}, então a corrente macroscópica satisfaz
j = n e v_{d}.
Isolando n obtemos a fórmula usada no enunciado:
n=\frac{j}{e v_{d}}=\frac{I}{e v_{d} w t}.
Comentário prático: e é a carga do elétron; para cálculos numéricos usaremos e=1{,}602176634\times 10^{-19}\,\mathrm{C}.

Passo 3

Calcular primeiro o campo elétrico de Hall E_{H} usando E_{H}=V_{H}/w. Substituindo os números:
E_{H}=\frac{40\times 10^{-6}}{1{,}2\times 10^{-2}}.
Faço a divisão passo a passo: 40\times 10^{-6}=4{,}0\times 10^{-5} e 1{,}2\times 10^{-2}=1{,}2\times 10^{-2}. Calculando:
E_{H}=0{,}00004/0{,}012=0{,}0033333333\ldots
Então
E_{H}\approx 3{,}33333\times 10^{-3}\,\mathrm{V/m}.

Passo 4

Agora obtenho a velocidade de arraste usando v_{d}=E_{H}/B. Substituindo:
v_{d}=\frac{3{,}33333\times 10^{-3}}{1{,}4}.
Faço a divisão:
v_{d}\approx 2{,}38095238\times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}.
Arredondando de forma adequada, podemos escrever
v_{d}\approx 2{,}38\times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: essa velocidade é muito pequena — é típica em condutores metálicos: os elétrons se movem lentamente em média, embora a propagação do sinal elétrico seja rápida.

Passo 5

Calcular a área da secção transversal A necessária para a densidade de corrente:
A=w\,t=(1{,}2\times 10^{-2})\times(9{,}5\times 10^{-6}).
Multiplicando:
A=1{,}14\times 10^{-7}\,\mathrm{m^{2}}.

Passo 6

Calcular a densidade de corrente j=I/A:
j=\frac{3{,}2}{1{,}14\times 10^{-7}}.
Fazendo a divisão:
j\approx 2{,}80701754\times 10^{7}\,\mathrm{A/m^{2}}.
(Para entender: j é corrente por unidade de área, e esse valor corresponde ao fluxo de carga através da secção.)

Passo 7

Agora uso n=\dfrac{j}{e v_{d}}. Substituo j, e e v_{d}:
n=\frac{2{,}80701754\times 10^{7}}{\left(1{,}602176634\times 10^{-19}\right)\left(2{,}38095238\times 10^{-3}\right)}.
Calculo o denominador passo a passo:
\left(1{,}602176634\times 10^{-19}\right)\left(2{,}38095238\times 10^{-3}\right)\approx 3{,}81470537\times 10^{-22}.
Agora a divisão:
n\approx \frac{2{,}80701754\times 10^{7}}{3{,}81470537\times 10^{-22}} \approx 7{,}35842\times 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}.
Arredondando de forma prática temos
n\approx 7{,}36\times 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}.
Comentário final didático: esse valor está na ordem de 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}, que é a mesma ordem de grandeza típica da densidade de elétrons livres em metais — portanto faz sentido físico.

Resposta

v_{d}\approx 2{,}38\times 10^{-3}\,\mathrm{m/s}\n
n\approx 7{,}36\times 10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}

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