Q 2: (05 pontos) Defina a função
por
se
e
. Então é correto afirmar que:
a) Nenhuma das outras alternativas
b)
; exitem as derivadas
e
.
c)
;
d)
e não
e)
e não
e
. exitem as derivadas
e
.
a) Nenhuma das outras alternativas
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede. Os dados do problema são:
- A função é definida por
, e . - A pergunta é escolher qual alternativa está correta entre as opções (a) a (e). As alternativas envolvem a expressão de
para e a existência (ou não) das derivadas parciais e .
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial de
em pontos
. Escrevo
onde
Para obter
uso que
,
e
dada pela regra do quociente. Vou explicar a regra do quociente de forma prática: se
com
e
, então
Aqui
e
. Então calculo as derivadas parciais necessárias:
Passo 3
Agora aplico a fórmula do quociente para
:
Faço a simplificação do numerador passo a passo:
Portanto
Como
, obtemos para
Passo 4
Por simetria ou cálculo análogo, a derivada parcial em relação a
(para
) é
(Se quiser, repete-se o mesmo processo trocando papéis de
e
:
tem
e
tem
, levando ao resultado acima.)
Passo 5
Agora preciso verificar as derivadas parciais no ponto
segundo a definição (porque as fórmulas anteriores não são válidas em
já que o denominador zera). A definição de
é
Para
temos
. Como
, obtemos
logo o limite é
. Portanto
Passo 6
Calculo de
pela definição análoga:
Para
tem-se
. Assim
e o limite é
. Portanto
Passo 7
Resumo dos resultados obtidos:
- Para
, - As derivadas parciais no ponto
existem e valem
Resposta
c)