Q 2: (05 pontos) Defina a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} por f(x, y)=x+y+\left[x y /\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] se (x, y) \neq(0,0) e f(0,0)=0. Então é correto afirmar que:
a) Nenhuma das outras alternativas
b) f_{x}(x, y)=1+y\left(y^{2}+x^{2}\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}; exitem as derivadas f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).
c) f_{x}(x, y)=1+y\left(y^{2}-x^{2}\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2};
d) f_{x}(x, y)=1+y\left(y^{2}-x^{2}\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} e não
e) f_{x}(x, y)=1+y\left(y^{2}+x^{2}\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} e não f_{x}(0,0)=-1 e f_{y}(x, 0)=1. exitem as derivadas f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pede. Os dados do problema são:
  • A função é definida por f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, f(x,y)=x+y+\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\quad\text{se }(x,y)\neq(0,0),e f(0,0)=0.
  • A pergunta é escolher qual alternativa está correta entre as opções (a) a (e). As alternativas envolvem a expressão de f_{x}(x,y) para (x,y)\neq(0,0) e a existência (ou não) das derivadas parciais f_{x}(0,0) e f_{y}(0,0).

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de f em pontos (x,y)\neq(0,0). Escrevo f(x,y)=x+y+h(x,y) onde
h(x,y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}.
Para obter f_{x} uso que \partial_x(x)=1, \partial_x(y)=0 e \partial_x h dada pela regra do quociente. Vou explicar a regra do quociente de forma prática: se h=\dfrac{N}{D} com N=N(x,y) e D=D(x,y), então
\partial_x h=\frac{\partial_x N\cdot D - N\cdot \partial_x D}{D^{2}}.
Aqui N(x,y)=x y e D(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então calculo as derivadas parciais necessárias:
\partial_x N=\partial_x(xy)=y, \qquad \partial_x D=\partial_x(x^{2}+y^{2})=2x.

Passo 3

Agora aplico a fórmula do quociente para \partial_x h:
\partial_x h=\frac{y\,(x^{2}+y^{2}) - (x y)\,(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Faço a simplificação do numerador passo a passo:
y\,(x^{2}+y^{2}) - 2x^{2}y = yx^{2}+y^{3}-2x^{2}y = y^{3}-x^{2}y = y\,(y^{2}-x^{2}).
Portanto
\partial_x h=\frac{y\,(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Como f_{x}= \partial_x(x)+\partial_x(y)+\partial_x h, obtemos para (x,y)\neq(0,0)
f_{x}(x,y)=1+ \frac{y\,(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Por simetria ou cálculo análogo, a derivada parcial em relação a y (para (x,y)\neq(0,0)) é
f_{y}(x,y)=1+ \frac{x\,(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
(Se quiser, repete-se o mesmo processo trocando papéis de x e y: N=x y tem \partial_y N=x e D tem \partial_y D=2y, levando ao resultado acima.)

Passo 5

Agora preciso verificar as derivadas parciais no ponto (0,0) segundo a definição (porque as fórmulas anteriores não são válidas em (0,0) já que o denominador zera). A definição de f_{x}(0,0) é
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para h\neq0 temos f(h,0)=h+0+\dfrac{h\cdot 0}{h^{2}+0}=h. Como f(0,0)=0, obtemos
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{h}{h}=1,
logo o limite é 1. Portanto
f_{x}(0,0)=1.

Passo 6

Calculo de f_{y}(0,0) pela definição análoga:
f_{y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Para k\neq0 tem-se f(0,k)=0+k+\dfrac{0\cdot k}{0+k^{2}}=k. Assim
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{k}{k}=1,
e o limite é 1. Portanto
f_{y}(0,0)=1.

Passo 7

Resumo dos resultados obtidos:
  • Para (x,y)\neq(0,0), f_{x}(x,y)=1+ \frac{y\,(y^{2}-x^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
  • As derivadas parciais no ponto (0,0) existem e valem f_{x}(0,0)=1,\qquad f_{y}(0,0)=1.

Resposta

c)

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