Determinar os pontos criticos, intervalos onde a função é crescente e decrescente, os máximos e mínimos relativos.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede: determinar os pontos críticos, os intervalos onde a função é crescente e decrescente, e identificar máximos e mínimos relativos (e, quando possível, globais).
- A função dada é
. - Informação implícita importante: o domínio da função é todos os
tais que o denominador não zere.
Não vou resolver ainda — só organizei o que foi pedido e os dados que temos.
Passo 2
Determinar o domínio de
e verificar se há pontos onde a derivada pode ser indefinida.
- O denominador é
. O discriminante é
Como
, o polinômio
não tem raízes reais e é sempre positivo para todo
.
- Conclusão: o denominador nunca é zero, logo o domínio é todos os reais:
. Em particular, não há pontos onde a derivada possa ser indefinida por causa do denominador.
Passo 3
Calcular a derivada
usando a regra do quociente e explicar a regra.
- Regra do quociente: para
com diferenciáveis e ,
- Aqui
e . Então e . - Aplicando a regra:
Agora desenvolvimento do numerador passo a passo:
Expande
:
Logo
Combine termos semelhantes:
Portanto a derivada simplificada é
Passo 4
Encontrar pontos críticos (onde
ou
indefinida) e justificar.
- Como o denominador
é sempre positivo, o sinal e as raízes de vêm apenas do numerador . - Resolver
equivale a resolver , ou seja
- Já que
é definido em todo , não há outros pontos críticos. - Conclusão: os pontos críticos são
e .
Passo 5
Analisar o sinal de
e determinar intervalos de crescimento/decrescimento (teste da primeira derivada).
- Observação:
para todo . Então
- A expressão
tem raízes em e e é: - positiva para
(por exemplo : ), - negativa para
(por exemplo : ), - positiva para
(por exemplo : ).
- positiva para
- Como
tem um sinal invertido (temos o fator na frente), obtemos: - Para
: → é decrescente. - Para
: → é crescente. - Para
: → é decrescente.
- Para
- Em forma de intervalo:
-
é decrescente em e em . -
é crescente em .
-
Passo 6
Classificar os extremos em
e
usando a primeira derivada (troca de sinal).
- No ponto
: muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Pelo teste da primeira derivada, isso indica um mínimo relativo em . - No ponto
: muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Pelo teste da primeira derivada, isso indica um máximo relativo em .
Passo 7
Calcular os valores das extremizações (valores de
nesses pontos) e discutir se são globais.
- Calcule
:
- Calcule
:
- Comportamento para
: como , para grandes domina o termo do denominador e o numerador é de ordem , portanto
Comparando valores:
e
; assim o máximo local em
é também máximo absoluto (global). O mínimo local em
é menor que os valores nos extremos do domínio (0), logo é também mínimo absoluto (global).
- Conclusão: máximo global em
com ; mínimo global em com .
Passo 8
Resumo final (forma verbal curta para fixar):
- Pontos críticos:
e . - Cresce em
. - Decresce em
e em . - Mínimo relativo (e global) em
com valor . - Máximo relativo (e global) em
com valor .
Resposta
Pontos críticos:
Mínimo (relativo e global):
,
Máximo (relativo e global):
,