Determinar os pontos criticos, intervalos onde a função é crescente e decrescente, os máximos e mínimos relativos.
f(x)=\frac{x+1}{x^{2}+x+1}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: determinar os pontos críticos, os intervalos onde a função é crescente e decrescente, e identificar máximos e mínimos relativos (e, quando possível, globais).
  • A função dada é f(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}+x+1}.
  • Informação implícita importante: o domínio da função é todos os x tais que o denominador x^{2}+x+1 não zere.
Não vou resolver ainda — só organizei o que foi pedido e os dados que temos.

Passo 2

Determinar o domínio de f e verificar se há pontos onde a derivada pode ser indefinida.
  • O denominador é x^{2}+x+1. O discriminante é
\Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot1 = 1-4 = -3.
Como \Delta<0, o polinômio x^{2}+x+1 não tem raízes reais e é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}.
  • Conclusão: o denominador nunca é zero, logo o domínio é todos os reais: \mathbb{R}. Em particular, não há pontos onde a derivada possa ser indefinida por causa do denominador.

Passo 3

Calcular a derivada f'(x) usando a regra do quociente e explicar a regra.
  • Regra do quociente: para f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u,v diferenciáveis e v(x)\neq0,
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
  • Aqui u(x)=x+1 e v(x)=x^{2}+x+1. Então u'(x)=1 e v'(x)=2x+1.
  • Aplicando a regra:
f'(x)=\frac{1\cdot (x^{2}+x+1)-(x+1)(2x+1)}{(x^{2}+x+1)^{2}}.
Agora desenvolvimento do numerador passo a passo:
\text{numerador} = x^{2}+x+1 - (x+1)(2x+1).
Expande (x+1)(2x+1):
(x+1)(2x+1)=2x^{2}+3x+1.
Logo
\text{numerador}=x^{2}+x+1 - (2x^{2}+3x+1)=x^{2}+x+1-2x^{2}-3x-1.
Combine termos semelhantes:
\text{numerador} = -x^{2}-2x = -x(x+2).
Portanto a derivada simplificada é
f'(x)=\frac{-x(x+2)}{(x^{2}+x+1)^{2}}.

Passo 4

Encontrar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' indefinida) e justificar.
  • Como o denominador (x^{2}+x+1)^{2} é sempre positivo, o sinal e as raízes de f' vêm apenas do numerador -x(x+2).
  • Resolver f'(x)=0 equivale a resolver -x(x+2)=0, ou seja
x=0 \quad\text{ou}\quad x=-2.
  • Já que f' é definido em todo \mathbb{R}, não há outros pontos críticos.
  • Conclusão: os pontos críticos são x=-2 e x=0.

Passo 5

Analisar o sinal de f'(x) e determinar intervalos de crescimento/decrescimento (teste da primeira derivada).
  • Observação: (x^{2}+x+1)^{2}>0 para todo x. Então
\operatorname{sign}(f'(x)) = \operatorname{sign}\big(-x(x+2)\big).
  • A expressão x(x+2) tem raízes em -2 e 0 e é:
    • positiva para x<-2 (por exemplo x=-3: (-3)(-1)=3>0),
    • negativa para -2<x<0 (por exemplo x=-1: (-1)(1)=-1<0),
    • positiva para x>0 (por exemplo x=1: 1\cdot3=3>0).
  • Como f' tem um sinal invertido (temos o fator - na frente), obtemos:
    • Para x<-2: x(x+2)>0\Rightarrow f'(x)<0 f é decrescente.
    • Para -2<x<0: x(x+2)<0\Rightarrow f'(x)>0 f é crescente.
    • Para x>0: x(x+2)>0\Rightarrow f'(x)<0 f é decrescente.
  • Em forma de intervalo:
    • f é decrescente em (-\infty,-2) e em (0,\infty).
    • f é crescente em (-2,0).

Passo 6

Classificar os extremos em x=-2 e x=0 usando a primeira derivada (troca de sinal).
  • No ponto x=-2: f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Pelo teste da primeira derivada, isso indica um mínimo relativo em x=-2.
  • No ponto x=0: f' muda de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Pelo teste da primeira derivada, isso indica um máximo relativo em x=0.

Passo 7

Calcular os valores das extremizações (valores de f nesses pontos) e discutir se são globais.
  • Calcule f(0):
f(0)=\frac{0+1}{0^{2}+0+1}=\frac{1}{1}=1.
  • Calcule f(-2):
f(-2)=\frac{-2+1}{(-2)^{2}+(-2)+1}=\frac{-1}{4-2+1}=\frac{-1}{3}=-\tfrac{1}{3}.
  • Comportamento para x\to\pm\infty: como f(x)=\dfrac{x+1}{x^{2}+x+1}, para grandes |x| domina o termo x^{2} do denominador e o numerador é de ordem x, portanto
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=0.
Comparando valores: f(0)=1>0 e \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0<1; assim o máximo local em x=0 é também máximo absoluto (global). O mínimo local em x=-2 é menor que os valores nos extremos do domínio (0), logo é também mínimo absoluto (global).
  • Conclusão: máximo global em x=0 com f(0)=1; mínimo global em x=-2 com f(-2)=-\tfrac{1}{3}.

Passo 8

Resumo final (forma verbal curta para fixar):
  • Pontos críticos: x=-2 e x=0.
  • Cresce em (-2,0).
  • Decresce em (-\infty,-2) e em (0,\infty).
  • Mínimo relativo (e global) em x=-2 com valor f(-2)=-\tfrac{1}{3}.
  • Máximo relativo (e global) em x=0 com valor f(0)=1.

Resposta

Pontos críticos: x=-2,\;x=0
f crescente em (-2,0)
f decrescente em (-\infty,-2) e em (0,\infty)
Mínimo (relativo e global): x=-2, f(-2)=-\tfrac{1}{3}
Máximo (relativo e global): x=0, f(0)=1

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