Use a definição da derivada f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} para calcular as derivadas das seguintes funções:
(g) f(x)=\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de derivada
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
para calcular a derivada da função f dada por
f(x)=\cos(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição da derivada é a fórmula acima.
  • A função é f(x)=\cos(x).
    A tarefa é calcular explicitamente f'(x) usando a definição (ou seja, montar o quociente de diferença e avaliar o limite quando h\to0).

Passo 2

Escrevendo a definição para a função f(x)=\cos(x), temos
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}.
Aqui x é o ponto onde queremos a derivada (fixo durante o limite) e h é a variação que tende a zero. O objetivo é simplificar essa expressão e avaliar o limite.

Passo 3

Usar a fórmula da soma de cossenos para expandir \cos(x+h). A identidade trigonométrica é
\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h.
Substituindo essa expressão no quociente de diferença obtém-se
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}.

Passo 4

Agrupando termos que envolvem \cos x e \sin x, podemos reescrever o quociente como soma de dois termos:
\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} = \cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h} \;-\; \sin x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Aqui foi fatorado \cos x no primeiro termo e -\sin x no segundo; note que \cos x e \sin x não dependem de h, portanto podem ser tratados como constantes ao passar para o limite.

Passo 5

Para avaliar o limite quando h\to0 dos termos acima, precisamos desses limites fundamentais:
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Vou justificar por que essas duas igualdades valem — são limites padrões que aparecem sempre em derivadas trigonométricas.

Passo 6

Prova de \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 (geometria / teorema do confronto).
Considere h em (0,\tfrac{\pi}{2}) (o caso negativo segue pela paridade: \sin(-h)/(-h)=\sin h/h). No círculo unitário, com h em radianos, vale a desigualdade clássica
\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1.
Explicando rapidamente de onde vem (intuição geométrica): comparar áreas de triângulos e setor circular produz as desigualdades \sin h < h < \tan h; manipulando obtém-se \cos h < \sin h/h < 1.
Agora, tomando o limite h\to0^+, tem-se \cos h\to1 e o termo superior é 1. Pelo teorema do confronto (squeeze theorem) conclui-se
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1.

Passo 7

Prova de \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Use a identidade de redução:
\cos h-1 = -2\sin^2\!\left(\frac{h}{2}\right).
Então
\frac{\cos h-1}{h} = -2\cdot\frac{\sin^2\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{h} = -2\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{\dfrac{h}{2}}\right)^{\!2}\cdot\frac{h}{4}.
No último passo isolou-se \left(\dfrac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2 e sobrou um fator \dfrac{h}{4}. Como \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1, temos \left(\dfrac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2\to1 e o fator \dfrac{h}{4}\to0. Portanto o produto tende a zero:
\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 8

Voltando ao quociente de diferença reescrito em termos dos dois limites, tomamos o limite h\to0 em
\cos x\cdot\frac{\cos h-1}{h} \;-\; \sin x\cdot\frac{\sin h}{h}.
Usando que \cos x e \sin x são constantes em relação a h, e os limites calculados nos passos anteriores, obtemos que o primeiro termo tende a \cos x\cdot 0 e o segundo termo tende a \sin x\cdot 1 com o sinal negativo indicado. Assim o limite que define a derivada é o número resultante dessa combinação.

Resposta

-\sin(x)

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