Use a definição da derivada f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} para calcular as derivadas das seguintes funções:
(g) f(x)=\cos (x)
Passo 1
O enunciado pede para usar a definição de derivada
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
para calcular a derivada da função f dada por
f(x)=\cos(x).
Informações relevantes fornecidas:
A definição da derivada é a fórmula acima.
A função é f(x)=\cos(x).
A tarefa é calcular explicitamente f'(x) usando a definição (ou seja, montar o quociente de diferença e avaliar o limite quando h\to0).
Passo 2
Escrevendo a definição para a função f(x)=\cos(x), temos
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}.
Aqui x é o ponto onde queremos a derivada (fixo durante o limite) e h é a variação que tende a zero. O objetivo é simplificar essa expressão e avaliar o limite.
Passo 3
Usar a fórmula da soma de cossenos para expandir \cos(x+h). A identidade trigonométrica é
\cos(x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h.
Substituindo essa expressão no quociente de diferença obtém-se
Aqui foi fatorado \cos x no primeiro termo e -\sin x no segundo; note que \cos x e \sin x não dependem de h, portanto podem ser tratados como constantes ao passar para o limite.
Passo 5
Para avaliar o limite quando h\to0 dos termos acima, precisamos desses limites fundamentais:
Vou justificar por que essas duas igualdades valem — são limites padrões que aparecem sempre em derivadas trigonométricas.
Passo 6
Prova de \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1 (geometria / teorema do confronto).
Considere h em (0,\tfrac{\pi}{2}) (o caso negativo segue pela paridade: \sin(-h)/(-h)=\sin h/h). No círculo unitário, com h em radianos, vale a desigualdade clássica
\cos h < \frac{\sin h}{h} < 1.
Explicando rapidamente de onde vem (intuição geométrica): comparar áreas de triângulos e setor circular produz as desigualdades \sin h < h < \tan h; manipulando obtém-se \cos h < \sin h/h < 1.
Agora, tomando o limite h\to0^+, tem-se \cos h\to1 e o termo superior é 1. Pelo teorema do confronto (squeeze theorem) conclui-se
\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1.
Passo 7
Prova de \displaystyle \lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Use a identidade de redução:
No último passo isolou-se \left(\dfrac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2 e sobrou um fator \dfrac{h}{4}. Como \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1, temos \left(\dfrac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2\to1 e o fator \dfrac{h}{4}\to0. Portanto o produto tende a zero:
\lim_{h\to0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Passo 8
Voltando ao quociente de diferença reescrito em termos dos dois limites, tomamos o limite h\to0 em
Usando que \cos x e \sin x são constantes em relação a h, e os limites calculados nos passos anteriores, obtemos que o primeiro termo tende a \cos x\cdot 0 e o segundo termo tende a \sin x\cdot 1 com o sinal negativo indicado. Assim o limite que define a derivada é o número resultante dessa combinação.