Q2 - Autovalores e Autovetores

a) Determine os autovalores e os autovetores associados ao seguinte operador:
A=[lll 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 ]
b) Verifique se os autovetores são ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador representado pela matriz
A= 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2
O tema envolve (i) cálculo do polinômio característico, (ii) solução de det(A-lambda I)=0, (iii) determinação das subespaços ker(A-lambda I) e (iv) verificação da ortogonalidade via produto interno canônico.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico:
det(A-lambda I) = det -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 2-lambda = (2-lambda),det-lambda & 1[4pt]1 & -lambda = (2-lambda)(lambda^2-1) ]

Passo 3

Resolvendo
(2-lambda)(lambda^2-1)=0
vem
2-lambda=0implies lambda=2, lambda^2-1=0implies lambda=pm1

Passo 4

Para cada valor de [\lambda) achamos o autovetor resolvendo :
:
logo :
da primeira equação segue , com livre, logo

Passo 5

Verificamos a ortogonalidade dos autovetores no R^3 com o produto interno canônico:
(1,1,0)cdot(1,-1,0)=1-1=0, (1,1,0)cdot(0,0,1)=0, (1,-1,0)cdot(0,0,1)=0
Portanto os três autovetores são mutuamente ortogonais.

Resposta

Os autovalores são
lambda1=1,;lambda2=-1,;lambda3=2,
com autovetores associados
v1=(1,1,0), v2=(1,-1,0), v3=(0,0,1)
Esses vetores são ortogonais entre si.

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