05 - Saturação da densidade de fluxo de fótons.
(a) Determine a densidade de fluxo de fotons de saturação, e a correspondente intensidade de saturação, para \lambda_{0}=\mathbf{6 9 4 , 3 n m}, transição do laser de rubi para v=v_{0}. Use os parâmetros da tabela abaixo e assuma que \tau_{\mathrm{s}} \sim 2 \mathrm{t}_{\mathrm{sp}}.
Laser Medium Transition Wavelength \lambda_{o}(\mu \mathrm{~m}) Transition Cross Section \sigma_{0}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right) Spontaneous Lifetime t_{\mathrm{sp}} Transition Linewidth { }^{\text {a }} \Delta \nu Refractive Index n
He-Ne 0.6328 1 \times 10^{-13} 0.7 \mu \mathrm{~s} 1.5 GHz \cong 1
Ruby 0.6943 2 \times 10^{-20} 3.0 ms 60 GHz 1.76
\mathrm{Nd}^{3+} :YAG 1.064 4 \times 10^{-19} 1.2 ms 120 GHz 1.82
\mathrm{Nd}^{3+} :glass 1.06 3 \times 10^{-20} 0.3 ms 3 THz 1.5
\mathrm{Er}^{3+} :silica fiber 1.55 6 \times 10^{-21} 10.0 ms 4 THz 1.46
Rhodamine-6G dye 0.56-0.64 2 \times 10^{-16} 3.3 ns 5 THz 1.33
\mathrm{Ti}^{3+}: \mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3} 0.66-1.18 3 \times 10^{-19} 3.2 \mu \mathrm{~s} 100 THz 1.76
\mathrm{CO}_{2} 10.6 3 \times 10^{-18} 2.9 s 60 MHz ~1
\mathrm{Ar}^{+} 0.515 3 \times 10^{-12} 10.0 ns 3.5 GHz \approx 1

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a densidade de fluxo de fótons de saturação e a correspondente intensidade de saturação para \lambda_{0}= \,0{,}6943\\ \mu\mathrm{m} (ou \,694{,}3\\ \mathrm{nm}) para o laser de rubi, usando os parâmetros da tabela e assumindo \tau_{\mathrm{s}}\sim 2\,t_{\mathrm{sp}}.
Informações fornecidas (pegar da tabela / enunciado):
  • comprimento de onda da transição: \lambda_{0}=694{,}3\\ \mathrm{nm}.
  • seção de choque de transição: \sigma_{0}=2\times10^{-20}\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • vida espontânea: t_{\mathrm{sp}}=3{,}0\\ \mathrm{ms}.
  • hipótese dada: \tau_{\mathrm{s}}\approx 2\,t_{\mathrm{sp}}.
Observação: a tabela também traz \Delta\nu e índice de refração n, mas eles não são necessários para a fórmula básica de saturação que vamos usar aqui.

Passo 2

Intuição física e fórmula de saturação (explicação didática):
  • Cada átomo na linha de transição sofre transições estimuladas com uma taxa proporcional ao fluxo de fótons \varphi (número de fótons que atravessam por unidade de área e tempo) multiplicado pela seção de choque \sigma_{0}. Essa taxa é \sigma_{0}\,\varphi (unidade: s^{-1}).
  • Saturação ocorre quando a taxa de transições estimuladas fica da ordem da taxa de relaxação (decadência) da nível excitado, ou seja quando a taxa estimulada é comparável a 1/\tau_{\mathrm{s}}.
  • Portanto, a condição de saturação simples é:
\sigma_{0}\,\phi_{\mathrm{sat}} \simeq \frac{1}{\tau_{\mathrm{s}}}.
  • Isolando \phi_{\mathrm{sat}}:
\phi_{\mathrm{sat}} \simeq \frac{1}{\sigma_{0}\,\tau_{\mathrm{s}}}.
  • A intensidade de saturação I_{\mathrm{sat}} (energia por área e por tempo) é o fluxo de fótons multiplicado pela energia de cada fóton E_{\mathrm{ph}}=h\nu=h c/\lambda:
I_{\mathrm{sat}} = \phi_{\mathrm{sat}}\;E_{\mathrm{ph}} = \phi_{\mathrm{sat}}\;\frac{h c}{\lambda_{0}}.
Aqui h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. Essas fórmulas são as que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Calcular \tau_{\mathrm{s}} a partir de t_{\mathrm{sp}}:
  • A hipótese do enunciado diz \tau_{\mathrm{s}}\sim 2\,t_{\mathrm{sp}}. Então
\tau_{\mathrm{s}} = 2\,t_{\mathrm{sp}} = 2\times 3{,}0\\ \mathrm{ms} = 6{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Calcular a densidade de fluxo de fótons de saturação \phi_{\mathrm{sat}}:
  • Usando \phi_{\mathrm{sat}} = 1/(\sigma_{0}\,\tau_{\mathrm{s}}). Note que \sigma_{0} está em \mathrm{cm}^{2} e \tau_{\mathrm{s}} em segundos; assim \phi_{\mathrm{sat}} virá em unidades \mathrm{fótons}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}ó.
  • Substituindo os valores:
\sigma_{0}=2\times10^{-20}\\ \mathrm{cm}^{2},\qquad \tau_{\mathrm{s}}=6{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
\phi_{\mathrm{sat}}=\frac{1}{(2\times10^{-20})(6{,}0\times10^{-3})}=\frac{1}{1{,}2\times10^{-22}}.
  • Calculando:
\phi_{\mathrm{sat}} \simeq 8{,}33\times10^{21}\\ \text{fótons}\,\text{cm}^{-2}\,\text{s}^{-1}.ó

Passo 5

Calcular a energia de cada fóton E_{\mathrm{ph}}:
  • Usamos E_{\mathrm{ph}}=h c/\lambda_{0}.
  • Valores das constantes (em unidades SI):
h=6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s},\qquad c=2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
  • Converter o comprimento de onda para metros:
\lambda_{0}=694{,}3\\ \mathrm{nm}=6{,}943\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Calcule h c e depois E_{\mathrm{ph}}:
h c \simeq 1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m},
E_{\mathrm{ph}}=\frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{6{,}943\times10^{-7}}\\ \mathrm{J} \simeq 2{,}861\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular a intensidade de saturação I_{\mathrm{sat}}:
  • Fórmula: I_{\mathrm{sat}}=\phi_{\mathrm{sat}}\,E_{\mathrm{ph}}.
  • Usamos \phi_{\mathrm{sat}} em \mathrm{fótons}\,\mathrm{cm}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}ó e E_{\mathrm{ph}} em \mathrm{J}, o que dá I_{\mathrm{sat}} em \mathrm{W}\,\mathrm{cm}^{-2}.
  • Substituindo:
I_{\mathrm{sat}} \simeq (8{,}33\times10^{21})\times(2{,}861\times10^{-19})\\ \mathrm{W}\,\mathrm{cm}^{-2}.
  • Calculando:
I_{\mathrm{sat}} \simeq 2{,}38\times10^{3}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{cm}^{-2}.
  • Se preferirmos em unidades SI ( \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}), usamos 1\\ \mathrm{W}\,\mathrm{cm}^{-2}=10^{4}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}, então
I_{\mathrm{sat}}\simeq 2{,}38\times10^{7}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2}.

Passo 7

Pequena verificação de ordem de grandeza e interpretação:
  • Os números são grandes porque a seção de choque \sigma_{0} do rubi é muito pequena ( 2\times10^{-20}\\ \mathrm{cm}^{2}) e a vida \tau_{\mathrm{s}} é relativamente longa (milissegundos), então são necessárias muitas partículas por área e por tempo para que a taxa estimulada alcance a taxa de relaxação.
  • Essas fórmulas e valores permitem estimar corretamente a intensidade necessária dentro do cristal para saturar a transição v=v_{0} do rubi.

Resposta

\phi_{\mathrm{sat}}\simeq 8{,}33\times10^{21}\\ \text{fótons}\,\text{cm}^{-2}\,\text{s}^{-1}ó\n
I_{\mathrm{sat}}\simeq 2{,}38\times10^{3}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{cm}^{-2} (= 2{,}38\times10^{7}\\ \mathrm{W}\,\mathrm{m}^{-2})

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