05 - Saturação da densidade de fluxo de fótons.
(b) Repita o item anterior para o laser de
\mathrm{He}-\mathrm{Ne}\left(\boldsymbol{\lambda}_{0}=\mathbf{6 3 2 , 8 n m}\right), e para o laser de \mathrm{Nd}^{3+} :YAG ( \lambda_{0}=\mathbf{1 0 6 4 n m} ). Use os parâmetros da tabela abaixo e assuma que \tau_{\mathrm{s}} \sim 2 \mathrm{t}_{\mathrm{sp}}.
Laser Medium Transition Wavelength \lambda_{o}(\mu \mathrm{~m}) Transition Cross Section \sigma_{0}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right) Spontaneous Lifetime t_{\mathrm{sp}} Transition Linewidth { }^{\text {a }} \Delta \nu Refractive Index n
He-Ne 0.6328 1 \times 10^{-13} 0.7 \mu \mathrm{~s} 1.5 GHz \cong 1
Ruby 0.6943 2 \times 10^{-20} 3.0 ms 60 GHz 1.76
\mathrm{Nd}^{3+} :YAG 1.064 4 \times 10^{-19} 1.2 ms 120 GHz 1.82
\mathrm{Nd}^{3+} :glass 1.06 3 \times 10^{-20} 0.3 ms 3 THz 1.5
\mathrm{Er}^{3+} :silica fiber 1.55 6 \times 10^{-21} 10.0 ms 4 THz 1.46
Rhodamine-6G dye 0.56-0.64 2 \times 10^{-16} 3.3 ns 5 THz 1.33
\mathrm{Ti}^{3+}: \mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3} 0.66-1.18 3 \times 10^{-19} 3.2 \mu \mathrm{~s} 100 THz 1.76
\mathrm{CO}_{2} 10.6 3 \times 10^{-18} 2.9 s 60 MHz ~1
\mathrm{Ar}^{+} 0.515 3 \times 10^{-12} 10.0 ns 3.5 GHz \approx 1

Passo 1

O enunciado pede para repetir o item anterior (saturação da densidade de fluxo de fótons) para os lasers de He–Ne e de \mathrm{Nd}^{3+}:YAG, usando os dados da tabela e assumindo \tau_{\mathrm{s}}\sim 2\,t_{\mathrm{sp}}.
Dados relevantes (retirados da tabela do enunciado):
  • Para He–Ne:
    \lambda_{0}=0,6328\\ \mu\mathrm{m}, \sigma_{0}=1\times10^{-13}\\ \mathrm{cm}^{2}, t_{\mathrm{sp}}=0,7\\ \mu\mathrm{s}.
  • Para \mathrm{Nd}^{3+}:YAG:
    \lambda_{0}=1,064\\ \mu\mathrm{m}, \sigma_{0}=4\times10^{-19}\\ \mathrm{cm}^{2}, t_{\mathrm{sp}}=1,2\\ \mathrm{ms}.
  • Suposição: \tau_{\mathrm{s}} \approx 2\,t_{\mathrm{sp}}.
Observação sobre unidades: a seção transversal \sigma_{0} está em \mathrm{cm}^{2}, os tempos em segundos (ou seus submúltiplos); a densidade de fluxo de fótons que vamos calcular ficará naturalmente em \text{fótons cm}^{-2}\text{s}^{-1}ó.

Passo 2

Qual é a definição prática de “densidade de fluxo de fótons de saturação” que usaremos?
Explicação didática: seja \Phi a densidade de fluxo de fótons (número de fótons que atravessam por unidade de área por unidade de tempo, em \text{fótons cm}^{-2}\text{s}^{-1}ó). A taxa de transições estimuladas por átomo é proporcional a \sigma_{0}\Phi: cada fóton tem probabilidade \sigma_{0} por unidade de área de provocar uma transição por unidade de tempo. A saturação ocorre quando a taxa de processos induzidos pelo campo (estimulação) se torna comparável à taxa de depopulação espontânea (caracterizada por 1/\tau_{\mathrm{s}}). Assim o critério usual de saturação é
\sigma_{0}\,\Phi_{\mathrm{s}}\,\tau_{\mathrm{s}} \sim 1.
Dessa relação isolamos a densidade de fótons de saturação:
\Phi_{\mathrm{s}}=\frac{1}{\sigma_{0}\,\tau_{\mathrm{s}}}.
Comentário: este é um resultado muito usado porque é simples e prático — quando o produto \sigma_{0}\Phi\tau_{\mathrm{s}} é da ordem de 1, os efeitos de saturação não podem ser desprezados.

Passo 3

Verificação de unidades (para não nos perder): \sigma_{0} tem unidade \mathrm{cm}^{2}, \tau_{\mathrm{s}} tem unidade \mathrm{s}, portanto \sigma_{0}\tau_{\mathrm{s}} tem unidade \mathrm{cm}^{2}\mathrm{s}. Invertendo, \Phi_{\mathrm{s}} tem unidade \text{fótons cm}^{-2}\text{s}^{-1}ó, como desejado.

Passo 4

Calculemos primeiro para o laser He–Ne, passo a passo.
  1. Calcular \tau_{\mathrm{s}}:
\tau_{\mathrm{s}}=2\,t_{\mathrm{sp}}=2\times 0,7\\ \mu\mathrm{s}=1,4\times10^{-6}\\ \mathrm{s}.
  1. Usar a fórmula de saturação:
\Phi_{\mathrm{s}}=\frac{1}{\sigma_{0}\,\tau_{\mathrm{s}}} =\frac{1}{\left(1\times10^{-13}\right)\left(1,4\times10^{-6}\right)}.
  1. Fazer a multiplicação no denominador:
\left(1\times10^{-13}\right)\left(1,4\times10^{-6}\right)=1,4\times10^{-19}.
  1. Inverter para obter \Phi_{\mathrm{s}}:
\Phi_{\mathrm{s}}=\frac{1}{1,4\times10^{-19}}=7,142857\ldots\times10^{18}\\ \text{fótons cm}^{-2}\text{s}^{-1}.ó
Arredondando com sentido prático para duas casas significativas:
\Phi_{\mathrm{s}}\approx7,14\times10^{18}\\ \text{fótons cm}^{-2}\text{s}^{-1}.ó

Passo 5

(Extra didático) — se quiser transformar \Phi_{\mathrm{s}} em intensidade (irradiância) de saturação I_{\mathrm{s}} em \mathrm{W\,cm}^{-2}, multiplica-se pelo energia por fóton E_{\mathrm{ph}}=h c/\lambda_{0}. Vou mostrar o cálculo rápido para dar intuição:
Constantes: h=6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}, c=2,998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Para He–Ne, \lambda_{0}=0,6328\\ \mu\mathrm{m}=6,328\times10^{-7}\\ \mathrm{m}. Então
E_{\mathrm{ph}}=\frac{hc}{\lambda_{0}}\approx\frac{1,986\times10^{-25}}{6,328\times10^{-7}}\approx3,14\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Assim
I_{\mathrm{s}}=\Phi_{\mathrm{s}}\,E_{\mathrm{ph}}\approx\left(7,14\times10^{18}\right)\left(3,14\times10^{-19}\right)\approx2,24\\ \mathrm{W\,cm}^{-2}.
(Isto dá uma ideia da ordem de grandeza da potência por área necessária para saturar a transição He–Ne.)

Passo 6

Agora calculamos para \mathrm{Nd}^{3+}:YAG, passo a passo.
  1. Calcular \tau_{\mathrm{s}}:
\tau_{\mathrm{s}}=2\,t_{\mathrm{sp}}=2\times1,2\\ \mathrm{ms}=2,4\times10^{-3}\\ \mathrm{s}.
  1. Usar a fórmula de saturação:
\Phi_{\mathrm{s}}=\frac{1}{\sigma_{0}\,\tau_{\mathrm{s}}} =\frac{1}{\left(4\times10^{-19}\right)\left(2,4\times10^{-3}\right)}.
  1. Multiplicar no denominador:
\left(4\times10^{-19}\right)\left(2,4\times10^{-3}\right)=9,6\times10^{-22}.
  1. Inverter para obter \Phi_{\mathrm{s}}:
\Phi_{\mathrm{s}}=\frac{1}{9,6\times10^{-22}}=1,0416667\times10^{21}\\ \text{fótons cm}^{-2}\text{s}^{-1}.ó
Arredondando para duas casas significativas:
\Phi_{\mathrm{s}}\approx1,04\times10^{21}\\ \text{fótons cm}^{-2}\text{s}^{-1}.ó

Passo 7

(Interpretação física curta e motivadora) Os dois resultados mostram que, apesar do \mathrm{Nd}^{3+}:YAG emitir em comprimento de onda maior, o fator decisivo aqui é a seção de choque \sigma_{0} e o tempo de vida: a \sigma_{0} do YAG é muito menor que a do He–Ne, mas o tempo de vida é muito maior — no produto \sigma_{0}\tau_{\mathrm{s}} o caso do YAG produz uma saturação que exige densidade de fótons muito maior ( \sim 10^{21} versus \sim 10^{19}). Em palavras simples: transições com seções de choque menores e vidas mais longas precisam de mais fótons por área por segundo para saturar.

Resposta

He–Ne: \Phi_{\mathrm{s}}\approx7,14\times10^{18}\\ \text{fótons cm}^{-2}\text{s}^{-1}ó
\mathrm{Nd}^{3+}:YAG: \Phi_{\mathrm{s}}\approx1,04\times10^{21}\\ \text{fótons cm}^{-2}\text{s}^{-1}ó

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