06 - Caracterização de Feixe Gaussiano. A luz de um laser de Nd:YAG com comprimento de onda 1,06 \mu \mathrm{~m} é um feixe gaussiano de potência óptica 1 W e divergência 2 \theta_{0}=1 \mathrm{mrad}. Determine o raio da cintura do feixe, o intervalo de Rayleigh, a intensidade máxima e a intensidade do feixe axial para uma distância \mathrm{z}=100 \mathrm{~cm} da cintura do feixe.

Passo 1

O enunciado dá um feixe gaussiano de laser com as seguintes informações:
\lambda=1,06\times10^{-6}\,\mathrm{m} (comprimento de onda),
potência óptica P=1\,\mathrm{W},
divergência total 2\theta_0=1\,\mathrm{mrad}, ou seja \theta_0=0,5\,\mathrm{mrad}=5,0\times10^{-4}\,\mathrm{rad}.
O que se pede:
  1. o raio da cintura do feixe w_0; 2) o intervalo de Rayleigh z_R; 3) a intensidade máxima (no centro da cintura, I_0(0)); 4) a intensidade axial do feixe para z=100\,\mathrm{cm}=1,00\,\mathrm{m} (ou seja I_0(z) em z=1,00\,\mathrm{m}).

Passo 2

Conceito e fórmula para relacionar divergência com o raio da cintura: para o modo gaussiano fundamental, a divergência (meio ângulo de semiabertura no campo longe) e o raio da cintura w_0 estão ligados por
\theta_0=\frac{\lambda}{\pi w_0}.
Aqui \theta_0 é o semi-ângulo de divergência em radianos, \lambda é o comprimento de onda em metros e w_0 é o raio da cintura em metros. Essa expressão vem da solução da equação de paraxial para o modo gaussiano e é usada em óptica de lasers para caracterizar o feixe.
Rearranjando para obter w_0:
w_0=\frac{\lambda}{\pi \theta_0}.
Agora substituímos os valores numéricos:
w_0=\frac{1,06\times10^{-6}}{\pi\cdot 5,0\times10^{-4}}.
Calculando:
\pi\cdot 5,0\times10^{-4}=1,5708\times10^{-3},
w_0=\frac{1,06\times10^{-6}}{1,5708\times10^{-3}}=6,75\times10^{-4}\,\mathrm{m}.
Portanto o raio da cintura é \,6,75\times10^{-4}\,\mathrm{m} (aprox. 0,675\,\mathrm{mm}).

Passo 3

Definição e fórmula do intervalo de Rayleigh: o intervalo de Rayleigh z_R é a distância ao longo do eixo a partir da cintura até o ponto onde a área da seção transversal do feixe dobrou (ou seja, onde o raio do feixe é w(z_R)=\sqrt{2}\,w_0). A fórmula é
z_R=\frac{\pi w_0^{2}}{\lambda}.
Explicando as variáveis: w_0 é o raio da cintura (m), \lambda é o comprimento de onda (m) e z_R fica em metros.
Agora calculamos usando w_0=6,75\times10^{-4}\,\mathrm{m}:
w_0^{2}=(6,75\times10^{-4})^{2}=4,56\times10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}.
\pi w_0^{2}= \pi \cdot 4,56\times10^{-7}=1,43\times10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}.
z_R=\frac{1,43\times10^{-6}}{1,06\times10^{-6}}=1,35\,\mathrm{m}.
Portanto o intervalo de Rayleigh é aproximadamente \,1,35\,\mathrm{m} (ou 135\,\mathrm{cm}). Observação física: isso significa que a 1 m da cintura ainda estamos dentro da região próxima (pois 1{,}00<1{,}35).

Passo 4

Fórmula da intensidade axial e perfil radial do feixe: para um feixe gaussiano, a distribuição de intensidade é
I(r,z)=I_0(z)\exp\!\left(-\frac{2r^{2}}{w(z)^{2}}\right),
onde r é a coordenada radial (m), w(z) é o raio do feixe no plano a distância z da cintura e I_0(z) é a intensidade no eixo ( r=0) para essa posição z. O raio do feixe evolui com z segundo
w(z)=w_0\sqrt{1+\left(\frac{z}{z_R}\right)^{2}}.
A intensidade axial é dada por
I_0(z)=\frac{2P}{\pi w(z)^{2}},
onde P é a potência total do feixe (a constante 2/\pi vem da normalização adotada quando w é o raio a 1/e^{2} da intensidade).
A intensidade máxima do feixe ocorre na cintura ( z=0), portanto:
I_0(0)=\frac{2P}{\pi w_0^{2}}.

Passo 5

Cálculo da intensidade máxima na cintura I_0(0): substituindo P=1\,\mathrm{W} e w_0=6,75\times10^{-4}\,\mathrm{m},
w_0^{2}=4,56\times10^{-7}\,\mathrm{m}^{2},
\pi w_0^{2}=1,43\times10^{-6}\,\mathrm{m}^{2},
I_0(0)=\frac{2\cdot 1}{1,43\times10^{-6}}=1,40\times10^{6}\,\mathrm{W/m^{2}}.
Interpretação: no centro da cintura o feixe apresenta intensidade máxima de aproximadamente 1{,}40\times10^{6}\,\mathrm{W/m^{2}}.

Passo 6

Cálculo da intensidade axial para z=1{,}00\,\mathrm{m}: primeiro o raio do feixe em z=1{,}00\,\mathrm{m}
\frac{z}{z_R}=\frac{1{,}00}{1{,}35}=0{,}741,
1+\left(\frac{z}{z_R}\right)^{2}=1+0{,}741^{2}=1{,}549,
w(1{,}00)=w_0\sqrt{1{,}549}=6,75\times10^{-4}\cdot 1{,}245=8,40\times10^{-4}\,\mathrm{m}.
Agora a intensidade axial em z=1{,}00\,\mathrm{m}:
w(1{,}00)^{2}=(8,40\times10^{-4})^{2}=7,06\times10^{-7}\,\mathrm{m}^{2},
\pi w(1{,}00)^{2}=2,22\times10^{-6}\,\mathrm{m}^{2},
I_0(1{,}00)=\frac{2\cdot 1}{2,22\times10^{-6}}=9,02\times10^{5}\,\mathrm{W/m^{2}}.
Interpretação: a intensidade no eixo a 1{,}00\,\mathrm{m} da cintura diminuiu em relação à intensidade na cintura, porque o feixe se alargou.

Resposta

\;w_0=6{,}75\times10^{-4}\,\mathrm{m}\n
\;z_R=1{,}35\,\mathrm{m}\n
\;I_0(0)=1{,}40\times10^{6}\,\mathrm{W/m^{2}}\n
\;I_0(1{,}00\,\mathrm{m})=9{,}02\times10^{5}\,\mathrm{W/m^{2}}

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