07 - Caracterização de um Feixe Gaussiano por
e
. Um feixe gaussiano de comprimento de onda
(emitido por um laser de
) tem larguras
e
para duas posições separadas por uma distancia
. Determine a posição da cintura e o raio da cintura do feixe.
Passo 1
Dados fornecidos (vou tomar como referência que o comprimento de onda do laser de CO
é
, que em milímetros fica
):
O que o enunciado pede:
- Determinar a posição da cintura (posição
da cintura) em relação às posições onde foram medidas e . - Determinar o raio da cintura (ou seja,
).
Passo 2
Apresentação da fórmula e significado das variáveis (mini-aula):
Um feixe gaussiano tem a largura de feixe ao longo do eixo dada por
Um feixe gaussiano tem a largura de feixe
onde:
-
é o raio da cintura (waist radius) — a menor largura do feixe; -
é a posição da cintura (no eixo ); -
é o comprimento de Rayleigh, dado por
Explicando em palavras:
cresce com a distância ao redor da cintura; a razão do crescimento é controlada por
que depende de
e da
.
Passo 3
Escolha de coordenadas e definição de incógnitas:
- Coloco a primeira posição de medição (onde
foi medida) em . - A segunda posição fica em
. - Defino
(distância da cintura até a primeira medição). Assim .
As incógnitas sãoe (ou equivalentemente ).
Passo 4
Escrever as equações para as duas medições:
Para :
Para
Para
:
Lembre que
.
Passo 5
Eliminação algébrica até obter equação para
:
Das expressões acima temos, ao subtrair:
Das expressões acima temos, ao subtrair:
Como
, então
Logo
Também da primeira equação
Tomando raízes (e escolhendo o sinal que corresponde à geometria; usaremos o valor positivo para a distância absoluta),
Da segunda equação analogamente
Subtraindo as duas raízes obtemos
Multiplicando por
e usando
fica:
Essa é uma equação escalar não linear em
que podemos resolver numericamente. Note que todas as quantidades dentro das raízes são positivas se
, consistente fisicamente.
Passo 6
Resolução numérica da equação para
(mostrando passos e testes):
Primeiro calculei os quadrados:
Primeiro calculei os quadrados:
Constante do lado direito (sem dividir por
):
A equação para testar é
Teste alguns valores:
-
-
-
(praticamente zero).
Assim a raiz está muito próxima de. Refinando de forma rápida obtemos
Interpretação: a cintura tem raio cerca de
(200
m).
Passo 7
Calcular
e a posição
(distância da cintura às medições):
Rayleigh range:
Rayleigh range:
Agora calculo
(distância da cintura até a primeira medição em
):
Com
obtemos
Como definimos
e
, temos
Isto significa: a cintura está localizada a cerca de
antes da posição onde foi medida
. Em relação à segunda posição (
):
ou seja, a segunda medição está a aproximadamente
da cintura.
Passo 8
Resumo rápido e incentivo:
- Encontramos que a cintura é bem estreita (
), e que ela está a cerca de “antes” (no sentido do eixo) da primeira posição medida. Esses valores fazem sentido físico: de para o raio quase dobra, e a geometria calculada mostra a cintura mais próxima do lado de . - Força aí — com esse passo a passo você consegue repetir o procedimento para outros pares de medidas.
Resposta
A cintura está localizada a
antes da posição onde foi medida
(ou seja,
se
).
O raio da cintura é .
O raio da cintura é