07 - Caracterização de um Feixe Gaussiano por \mathrm{W}\left(\mathrm{z}_{1}\right) e \mathrm{W}\left(\mathrm{z}_{2}\right). Um feixe gaussiano de comprimento de onda 10=10,6 \mathrm{~mm} (emitido por um laser de \mathrm{CO}_{2} ) tem larguras \mathrm{W}_{1}= 1,699 \mathrm{~mm} e \mathrm{W}_{2}=3,38 \mathrm{~mm} para duas posições separadas por uma distancia \mathrm{d}=10 \mathrm{~cm}. Determine a posição da cintura e o raio da cintura do feixe.

Passo 1

Dados fornecidos (vou tomar como referência que o comprimento de onda do laser de CO _2 é \lambda=10{,}6\\ \mu\mathrm{m}, que em milímetros fica \lambda=0{,}0106\\ \mathrm{mm}):
\lambda = 0{,}0106\\ \mathrm{mm}
W_1 = 1{,}699\\ \mathrm{mm}
W_2 = 3{,}38\\ \mathrm{mm}
d = 10\\ \mathrm{cm} = 100\\ \mathrm{mm}
O que o enunciado pede:
  • Determinar a posição da cintura (posição z_0 da cintura) em relação às posições onde foram medidas W_1 e W_2.
  • Determinar o raio da cintura (ou seja, W_0).

Passo 2

Apresentação da fórmula e significado das variáveis (mini-aula):
Um feixe gaussiano tem a largura de feixe W(z) ao longo do eixo dada por
W(z)=W_0\sqrt{1+\left(\frac{z-z_0}{z_R}\right)^2}
onde:
  • W_0 é o raio da cintura (waist radius) — a menor largura do feixe;
  • z_0 é a posição da cintura (no eixo z);
  • z_R é o comprimento de Rayleigh, dado por
z_R=\frac{\pi W_0^2}{\lambda}.
Explicando em palavras: W(z) cresce com a distância ao redor da cintura; a razão do crescimento é controlada por z_R que depende de W_0 e da \lambda.

Passo 3

Escolha de coordenadas e definição de incógnitas:
  • Coloco a primeira posição de medição (onde W_1 foi medida) em z=z_1=0.
  • A segunda posição fica em z=z_2=d.
  • Defino u=z_1-z_0=-z_0 (distância da cintura até a primeira medição). Assim z_2-z_0=u+d.
    As incógnitas são W_0 e z_0 (ou equivalentemente u).

Passo 4

Escrever as equações para as duas medições:
Para z=z_1=0:
W_1^2 = W_0^2\left[1+\left(\frac{u}{z_R}\right)^2\right].
Para z=z_2=d:
W_2^2 = W_0^2\left[1+\left(\frac{u+d}{z_R}\right)^2\right].
Lembre que z_R=\dfrac{\pi W_0^2}{\lambda}.

Passo 5

Eliminação algébrica até obter equação para W_0:
Das expressões acima temos, ao subtrair:
W_2^2-W_1^2 = W_0^2\left(\frac{(u+d)^2-u^2}{z_R^2}\right) = W_0^2\left(\frac{2ud+d^2}{z_R^2}\right).
Como z_R^2=\dfrac{\pi^2 W_0^4}{\lambda^2}, então
\frac{W_0^2}{z_R^2}=\frac{\lambda^2}{\pi^2 W_0^2}.
Logo
W_2^2-W_1^2=\frac{\lambda^2}{\pi^2 W_0^2}(2ud+d^2).
Também da primeira equação
\left(\frac{u}{z_R}\right)^2=\frac{W_1^2}{W_0^2}-1.
Tomando raízes (e escolhendo o sinal que corresponde à geometria; usaremos o valor positivo para a distância absoluta),
\frac{u}{z_R}=\sqrt{\frac{W_1^2}{W_0^2}-1}.
Da segunda equação analogamente
\frac{u+d}{z_R}=\sqrt{\frac{W_2^2}{W_0^2}-1}.
Subtraindo as duas raízes obtemos
\frac{d}{z_R}=\sqrt{\frac{W_2^2}{W_0^2}-1}-\sqrt{\frac{W_1^2}{W_0^2}-1}.
Multiplicando por z_R e usando z_R=\dfrac{\pi W_0^2}{\lambda} fica:
\sqrt{W_2^2-W_0^2}-\sqrt{W_1^2-W_0^2}=\frac{d\,\lambda}{\pi W_0}.
Essa é uma equação escalar não linear em W_0 que podemos resolver numericamente. Note que todas as quantidades dentro das raízes são positivas se W_0\le W_1, consistente fisicamente.

Passo 6

Resolução numérica da equação para W_0 (mostrando passos e testes):
Primeiro calculei os quadrados:
W_1^2=1{,}699^2=2{,}886601\\ \mathrm{mm}^2,
W_2^2=3{,}38^2=11{,}4244\\ \mathrm{mm}^2.
Constante do lado direito (sem dividir por W_0):
\frac{d\lambda}{\pi}=\frac{100\cdot 0{,}0106}{\pi}\approx\frac{1{,}06}{3{,}1416}\approx 0{,}3376\\ \mathrm{mm}^2.
A equação para testar é
f(W_0)=\sqrt{W_2^2-W_0^2}-\sqrt{W_1^2-W_0^2}-\frac{d\lambda}{\pi W_0}=0.
Teste alguns valores:
  • W_0=1{,}0\\ \mathrm{mm}\Rightarrow f\approx 1{,}5168>0.
  • W_0=0{,}5\\ \mathrm{mm}\Rightarrow f\approx 1{,}043>0.
  • W_0=0{,}2\\ \mathrm{mm}\Rightarrow f\approx -0{,}0007 (praticamente zero).
    Assim a raiz está muito próxima de W_0=0{,}200\\ \mathrm{mm}. Refinando de forma rápida obtemos
W_0 \approx 0{,}200\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: a cintura tem raio cerca de 0{,}200\\ \mathrm{mm} (200 \mum).

Passo 7

Calcular z_R e a posição z_0 (distância da cintura às medições):
Rayleigh range:
z_R=\frac{\pi W_0^2}{\lambda}=\frac{\pi\,(0{,}200)^2}{0{,}0106}\\ \mathrm{mm} =\frac{3{,}1416\cdot 0{,}04}{0{,}0106}\\ \mathrm{mm}\approx 11{,}86\\ \mathrm{mm}.
Agora calculo u (distância da cintura até a primeira medição em z_1=0):
u = z_R\sqrt{\frac{W_1^2}{W_0^2}-1}.
Com W_1^2/W_0^2=2{,}886601/0{,}04\approx72{,}165 obtemos
u \approx 11{,}86\cdot\sqrt{71{,}165}\\ \mathrm{mm}\approx 11{,}86\cdot 8{,}436\approx 100{,}02\\ \mathrm{mm}.
Como definimos z_1=0 e u=z_1-z_0=-z_0, temos
z_0 = -u \approx -100{,}02\\ \mathrm{mm}.
Isto significa: a cintura está localizada a cerca de 100{,}02\\ \mathrm{mm} antes da posição onde foi medida W_1. Em relação à segunda posição ( z_2=d):
z_2-z_0 = u+d\approx 100{,}02+100=200{,}02\\ \mathrm{mm},
ou seja, a segunda medição está a aproximadamente 200{,}02\\ \mathrm{mm} da cintura.

Passo 8

Resumo rápido e incentivo:
  • Encontramos que a cintura é bem estreita ( W_0\approx 0{,}200\\ \mathrm{mm}), e que ela está a cerca de 100\\ \mathrm{mm} “antes” (no sentido do eixo) da primeira posição medida. Esses valores fazem sentido físico: de W_1 para W_2 o raio quase dobra, e a geometria calculada mostra a cintura mais próxima do lado de W_1.
  • Força aí — com esse passo a passo você consegue repetir o procedimento para outros pares de medidas.

Resposta

A cintura está localizada a 100{,}02\\ \mathrm{mm} antes da posição onde foi medida W_1 (ou seja, z_0\approx -100{,}02\\ \mathrm{mm} se z_1=0).
O raio da cintura é W_0\approx 0{,}200\\ \mathrm{mm}.

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