[05] Sejam B=\{(2,-1),(0,1)\} uma base de \mathbb{R}^{2}, B_{1}=\{(2,0,-1),(0,1,1),(3,2,0)\} base de \mathbb{R}^{3} e T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
[T]_{B_{1}}^{B}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 1 & 1 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right]
(a) Ache a transformação linear T.
(b) Ache uma base B_{2} de \mathbb{R}^{3} tal que
[T]_{B_{2}}^{B}=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá duas bases não–canônicas
- no domínio \mathbb{R}^2, a base
B = \{\,b_1=(2,-1),\;b_2=(0,1)\},
- no contradomínio \mathbb{R}^3, a base
B_{1} = \{\,c_1=(2,0,-1),\;c_2=(0,1,1),\;c_3=(3,2,0)\},
e a matriz de T relativa a essas bases é
[T]_{B_{1}}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 1 & 1\\\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.
Na parte (a) queremos a fórmula explícita de T em coordenadas canônicas; na parte (b) buscamos uma nova base B_{2} de \mathbb{R}^3 que transforme a matriz de T em
[T]_{B_{2}}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 2

Vamos achar primeiro as imagens dos vetores da base do domínio em coordenadas canônicas.
Pela definição de matriz de transformação, a primeira coluna de [T]_{B_{1}}^{B} são as coordenadas de T(b_1) na base B_{1}:
T(b_1) = 1\cdot c_1 + 1\cdot c_2 + 0\cdot c_3 = (2,0,-1)+(0,1,1) = (2,1,0).
A segunda coluna dá T(b_2):
T(b_2) = 0\cdot c_1 + 1\cdot c_2 + (-1)\cdot c_3 = (0,1,1) - (3,2,0) = (-3,-1,1).

Passo 3

Agora, para achar T(x,y) em coordenadas canônicas, escrevemos (x,y) como combinação de b_1 e b_2:
(x,y) = \alpha\,(2,-1) + \beta\,(0,1).
Isso dá o sistema
2\alpha = x, \qquad -\,\alpha + \beta = y.
Daí \alpha = x/2 e \beta = y + x/2.

Passo 4

Usamos a linearidade:
T(x,y) = \alpha\,T(b_1) + \beta\,T(b_2) = \frac{x}{2}\,(2,1,0) \;+\;\Bigl(y+\frac{x}{2}\Bigr)\,(-3,-1,1).
Basta distribuir e simplificar coordenada a coordenada:
  1. Primeira coordenada
\frac{x}{2}\cdot 2 + \Bigl(y+\frac{x}{2}\Bigr)\!(-3) = x \;-\;3y \;-\;\frac{3x}{2} = -\frac{x}{2} \;-\;3y.
  1. Segunda coordenada
\frac{x}{2}\cdot 1 + \Bigl(y+\frac{x}{2}\Bigr)\!(-1) = \frac{x}{2} - y - \frac{x}{2} = -\,y.
  1. Terceira coordenada
\frac{x}{2}\cdot 0 + \Bigl(y+\frac{x}{2}\Bigr)\cdot 1 = y + \frac{x}{2}.
Logo, em coordenadas canônicas,
T(x,y) = \Bigl(-\tfrac12 x -3y,\;-y,\;\tfrac12 x + y\Bigr).

Passo 5

Para a parte (b), queremos uma base B_{2} = \{w_1,w_2,w_3\} de \mathbb{R}^3 tal que
[T]_{B_{2}}^{B} = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Isto significa: \;T(b_1)=w_1 (coordenada (1,0,0))
e \;T(b_2)=w_3 (coordenada (0,0,1)).
Como já encontramos
T(b_1)=(2,1,0), \quad T(b_2)=(-3,-1,1),
podemos escolher
w_1 = (2,1,0), \quad w_3 = (-3,-1,1).
Falta um vetor w_2 que complete uma base, ou seja, que não esteja no plano gerado por w_1,w_3. Uma escolha simples é
w_2 = (0,1,0),
pois não existe combinação a\,w_1 + b\,w_3 que produza (0,1,0). Então
B_{2} = \{(2,1,0),\,(0,1,0),\,(-3,-1,1)\}
funciona e produz exatamente
[T]_{B_{2}}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) Em coordenadas canônicas,
T(x,y) = \Bigl(-\tfrac12 x - 3y,\;-y,\;\tfrac12 x + y\Bigr).
(b) Uma base de \mathbb{R}^3 que faz
[T]_{B_{2}}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}
é
B_{2} = \{(2,1,0),\;(0,1,0),\;(-3,-1,1)\}.

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