[07] Provar o Teorema do Núcleo e da Imagem para transformações lineares com espaços vetoriais de dimensão finita.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dada uma transformação linear
entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale
entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale
Os conteúdos que vamos usar são: base de subespaço (núcleo), extensão de base ao espaço todo e contagem de dimensões via bases.
Passo 2
Como
é subespaço de
e tem dimensão finita, escolhemos uma base
de
.
Por definição, e todo vetor
se escreve como combinação linear desses
.
Por definição,
Passo 3
Pelo Teorema de Extensão de Base, podemos estender
a uma base de , digamos
.
Então .
a uma base de
Então
Passo 4
Mostramos que
é gerador de .
De fato, para qualquer existe
tal que
.
Escrevendo
é gerador de
De fato, para qualquer
Escrevendo
temos
pois
para
. Logo
está gerado pelos
.
Passo 5
Mostramos que
é linearmente independente.
Suponha .
Então
é linearmente independente.
Suponha
Então
portanto
.
Mas também se expressa unicamente na base
, e como seus coeficientes em
são zero, a unicidade em
força
. Logo são independentes.
Mas
Passo 6
Concluímos que
é base de , portanto
.
Como e
, resulta
é base de
Como