[07] Provar o Teorema do Núcleo e da Imagem para transformações lineares com espaços vetoriais de dimensão finita.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dada uma transformação linear \displaystyle T\colon V\to W
entre espaços vetoriais de dimensão finita, vale
\dim V \;=\;\dim\ker(T)\;+\;\dim\mathrm{im}(T).
Os conteúdos que vamos usar são: base de subespaço (núcleo), extensão de base ao espaço todo e contagem de dimensões via bases.

Passo 2

Como \ker(T) é subespaço de V e tem dimensão finita, escolhemos uma base \{v_{1},\dots,v_{k}\} de \ker(T).
Por definição, k=\dim\ker(T) e todo vetor u\in\ker(T) se escreve como combinação linear desses v_{i}.

Passo 3

Pelo Teorema de Extensão de Base, podemos estender \{v_{1},\dots,v_{k}\}
a uma base de V, digamos \{v_{1},\dots,v_{k},v_{k+1},\dots,v_{n}\}.
Então \dim V=n.

Passo 4

Mostramos que \{T(v_{k+1}),\dots,T(v_{n})\}
é gerador de \mathrm{im}(T).
De fato, para qualquer y\in\mathrm{im}(T) existe v\in V tal que T(v)=y.
Escrevendo
v = \sum_{i=1}^{n} a_i\,v_i,
temos
y=T(v) =\sum_{i=1}^{n}a_i\,T(v_i) =\sum_{j=k+1}^{n}a_j\,T(v_j),
pois T(v_i)=0 para i\le k. Logo y está gerado pelos T(v_{k+1}),\dots,T(v_n).

Passo 5

Mostramos que \{T(v_{k+1}),\dots,T(v_{n})\}
é linearmente independente.
Suponha \sum_{j=k+1}^{n} b_j\,T(v_j)=0.
Então
T\!\Bigl(\sum_{j=k+1}^{n}b_j\,v_j\Bigr) =\sum_{j=k+1}^{n}b_j\,T(v_j)=0,
portanto u=\sum_{j=k+1}^{n}b_j\,v_j\in\ker(T).
Mas u também se expressa unicamente na base \{v_1,\dots,v_n\}, e como seus coeficientes em v_1,\dots,v_k são zero, a unicidade em \ker(T) força b_{k+1}=\cdots=b_n=0. Logo são independentes.

Passo 6

Concluímos que \{T(v_{k+1}),\dots,T(v_{n})\}
é base de \mathrm{im}(T), portanto \dim\mathrm{im}(T)=n-k.
Como \dim V=n e \dim\ker(T)=k, resulta
\dim V \;=\; k + (n-k) \;=\;\dim\ker(T)\;+\;\dim\mathrm{im}(T).

Resposta

\boxed{\dim V = \dim\ker(T) + \dim\mathrm{im}(T).}

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