05 - Sendo
um número natural,
, assinale a alternativa verdadeira.
a) O número
é sempre um número ímpar.
b) O número
é sempre divisível por 3 .
c) O número
.(n-1) é sempre ímpar.
d) O mínimo múltiplo comum entre n e
é sempre um número par.
e) O máximo divisor comum entre n e
é
.
a) O número
b) O número
c) O número
d) O mínimo múltiplo comum entre n e
e) O máximo divisor comum entre n e
Passo 1
O enunciado diz: seja
um número natural,
. Precisa-se assinalar a alternativa verdadeira entre as opções (a) a (e).
Informações dadas e objetivo claros:
Informações dadas e objetivo claros:
-
é natural e não nulo, então . - Pergunta: qual das afirmações abaixo é verdadeira para todo
natural não nulo?
a)é sempre ímpar.
b)é sempre divisível por .
c)é sempre ímpar.
d) O mínimo múltiplo comum entree é sempre um número par.
e) O máximo divisor comum entree é .
Passo 2
Analisando a alternativa (a): verificar se
é sempre ímpar.
Lembrete rápido sobre paridade: um número inteiro é par se é múltiplo de (ou seja, da forma
); é ímpar se é da forma
. A soma de um número par com
(ímpar) é ímpar, e a soma de um número ímpar com
é par. Portanto a paridade de
depende da paridade de
. Como
e
têm a mesma paridade (se
é par,
é par; se
é ímpar,
é ímpar), então:
Lembrete rápido sobre paridade: um número inteiro é par se é múltiplo de
- se
é par é par é ímpar; - se
é ímpar é ímpar é par.
Basta um contraexemplo para derrubar a afirmação “sempre”: escolha(ímpar). Então
que é par. Logo (a) é falsa.
Passo 3
Analisando a alternativa (b): verificar se
é sempre divisível por
.
Divisibilidade por significa que
divide
. Para que isto seja verdadeiro para todo
seria necessário que todo
seja múltiplo de
, o que é falso. Um contraexemplo simples:
. Então
Divisibilidade por
que não é divisível por
. Portanto (b) é falsa.
Passo 4
Analisando a alternativa (c): verificar se
é sempre ímpar.
Observe que e
são dois inteiros consecutivos. Entre dois inteiros consecutivos sempre há exatamente um número par (porque a paridade alterna). Assim um dos fatores
ou
é par, e o produto de um número par por qualquer outro inteiro é par. Logo
é sempre par, nunca sempre ímpar. Por exemplo, com
,
Observe que
par. Portanto (c) é falsa.
Passo 5
Analisando a alternativa (d): verificar se o mínimo múltiplo comum entre
e
é sempre um número par.
Primeiro lembrar a definição de mínimo múltiplo comum (mmc, ou ):
é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultâneo de
e de
. Note que
é múltiplo de
(pois
). Assim qualquer múltiplo comum de
e
tem de ser múltiplo de
; por isso o menor múltiplo comum é exatamente
. Em notação:
Primeiro lembrar a definição de mínimo múltiplo comum (mmc, ou
Como
é da forma
, é claramente par para todo
. Portanto o mmc entre
e
é sempre um número par. Logo a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Analisando a alternativa (e): verificar se o máximo divisor comum entre
e
é
.
Lembrando a definição de máximo divisor comum (mdc, ou ):
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
. Qualquer divisor comum de
e
divide
(porque se d divide
e
, então em particular d divide
). Logo o maior divisor comum não pode ser maior que
. De fato,
divide tanto
quanto
, então
Lembrando a definição de máximo divisor comum (mdc, ou
Para que
fosse igual a
seria preciso que
dividisse
, o que só ocorre quando
; mas
no enunciado. Logo (e) é falsa.
Passo 7
Resumo das verificações e observações úteis para prova:
- (a) falsa: contraex.:
dá (par). - (b) falsa: contraex.:
dá (não divisível por ). - (c) falsa: produto de dois consecutivos é sempre par (um dos fatores é par).
- (d) verdadeira:
e é par para todo . - (e) falsa:
, não .
Vai com calma na prova: para questões de “sempre/sempre verdadeiro”, tente ou provar a propriedade geral ou apresentar um contraexemplo simples (geralmente
ou
resolvem).
Resposta
d)