05 - Sendo n um número natural, n \neq 0, assinale a alternativa verdadeira.
a) O número \mathrm{n}^{2}+3 é sempre um número ímpar.
b) O número n^{3} é sempre divisível por 3 .
c) O número n.(n-1) é sempre ímpar.
d) O mínimo múltiplo comum entre n e 2 n é sempre um número par.
e) O máximo divisor comum entre n e 2 n é 2 n.

Passo 1

O enunciado diz: seja n um número natural, n \neq 0. Precisa-se assinalar a alternativa verdadeira entre as opções (a) a (e).
Informações dadas e objetivo claros:
  • n é natural e não nulo, então n\in\{1,2,3,\dots\}.
  • Pergunta: qual das afirmações abaixo é verdadeira para todo n natural não nulo?
    a) n^{2}+3 é sempre ímpar.
    b) n^{3} é sempre divisível por 3.
    c) n(n-1) é sempre ímpar.
    d) O mínimo múltiplo comum entre n e 2n é sempre um número par.
    e) O máximo divisor comum entre n e 2n é 2n.

Passo 2

Analisando a alternativa (a): verificar se \,n^{2}+3 é sempre ímpar.
Lembrete rápido sobre paridade: um número inteiro é par se é múltiplo de 2 (ou seja, da forma 2k); é ímpar se é da forma 2k+1. A soma de um número par com 3 (ímpar) é ímpar, e a soma de um número ímpar com 3 é par. Portanto a paridade de n^{2}+3 depende da paridade de n^{2}. Como n e n^{2} têm a mesma paridade (se n é par, n^{2} é par; se n é ímpar, n^{2} é ímpar), então:
  • se n é par \Rightarrow n^{2} é par \Rightarrow n^{2}+3 é ímpar;
  • se n é ímpar \Rightarrow n^{2} é ímpar \Rightarrow n^{2}+3 é par.
    Basta um contraexemplo para derrubar a afirmação “sempre”: escolha n=1 (ímpar). Então
n^{2}+3 = 1^{2}+3 = 4,
que é par. Logo (a) é falsa.

Passo 3

Analisando a alternativa (b): verificar se \,n^{3} é sempre divisível por 3.
Divisibilidade por 3 significa que 3 divide n^{3}. Para que isto seja verdadeiro para todo n seria necessário que todo n seja múltiplo de 3, o que é falso. Um contraexemplo simples: n=1. Então
n^{3} = 1^{3} = 1,
que não é divisível por 3. Portanto (b) é falsa.

Passo 4

Analisando a alternativa (c): verificar se \,n(n-1) é sempre ímpar.
Observe que n e n-1 são dois inteiros consecutivos. Entre dois inteiros consecutivos sempre há exatamente um número par (porque a paridade alterna). Assim um dos fatores n ou n-1 é par, e o produto de um número par por qualquer outro inteiro é par. Logo n(n-1) é sempre par, nunca sempre ímpar. Por exemplo, com n=2,
n(n-1) = 2\cdot1 = 2,
par. Portanto (c) é falsa.

Passo 5

Analisando a alternativa (d): verificar se o mínimo múltiplo comum entre n e 2n é sempre um número par.
Primeiro lembrar a definição de mínimo múltiplo comum (mmc, ou \mathrm{lcm}): \mathrm{lcm}(a,b) é o menor inteiro positivo que é múltiplo simultâneo de a e de b. Note que 2n é múltiplo de n (pois 2n = 2\cdot n). Assim qualquer múltiplo comum de n e 2n tem de ser múltiplo de 2n; por isso o menor múltiplo comum é exatamente 2n. Em notação:
\mathrm{lcm}(n,2n)=2n.
Como 2n é da forma 2\cdot n, é claramente par para todo n\in\{1,2,3,\dots\}. Portanto o mmc entre n e 2n é sempre um número par. Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Analisando a alternativa (e): verificar se o máximo divisor comum entre n e 2n é 2n.
Lembrando a definição de máximo divisor comum (mdc, ou \gcd): \gcd(a,b) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b. Qualquer divisor comum de n e 2n divide n (porque se d divide n e 2n, então em particular d divide n). Logo o maior divisor comum não pode ser maior que n. De fato, n divide tanto n quanto 2n, então
\gcd(n,2n)=n.
Para que \gcd(n,2n) fosse igual a 2n seria preciso que 2n dividisse n, o que só ocorre quando n=0; mas n\neq0 no enunciado. Logo (e) é falsa.

Passo 7

Resumo das verificações e observações úteis para prova:
  • (a) falsa: contraex.: n=1 1^{2}+3=4 (par).
  • (b) falsa: contraex.: n=1 1^{3}=1 (não divisível por 3).
  • (c) falsa: produto de dois consecutivos é sempre par (um dos fatores é par).
  • (d) verdadeira: \mathrm{lcm}(n,2n)=2n e 2n é par para todo n\ge1.
  • (e) falsa: \gcd(n,2n)=n, não 2n.
Vai com calma na prova: para questões de “sempre/sempre verdadeiro”, tente ou provar a propriedade geral ou apresentar um contraexemplo simples (geralmente n=1 ou n=2 resolvem).

Resposta

d)

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