07 - Daniel e Fábio são amigos há anos e, sempre que podem, saem para correr juntos. Certo dia Daniel sugeriu que cronometrassem suas corridas para saber ao certo qual é o desempenho de cada um. Para ter mais exatidão, decidiram correr numa pista circular, próxima à casa deles. Constataram, então, que Daniel dava uma volta completa em 24 segundos, enquanto Fábio demorava 28 segundos para fazer o mesmo percurso. Diante disso, Fábio questionou: “Se sairmos juntos de um mesmo local e no mesmo momento, em quanto tempo voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, neste mesmo ponto de largada?”
Assinale a alternativa CORRETA.
a)
b)
c)
d)
e) 1 min 48 s
a)
b)
c)
d)
e) 1 min 48 s
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Daniel completa uma volta em
. - Fábio completa uma volta em
.
A pergunta é: se saírem juntos do mesmo ponto e ao mesmo instante, em quanto tempo voltarão a se encontrar pela primeira vez exatamente nesse ponto de largada?
Passo 2
Entendendo o que significa “voltar a se encontrar no mesmo ponto de largada”: isso ocorre quando o tempo decorrido
é simultaneamente um múltiplo do tempo de volta do Daniel e um múltiplo do tempo de volta do Fábio. Ou seja, existem inteiros positivos
e
tais que
Queremos o menor
com essa propriedade. Esse
é o mínimo múltiplo comum (MMC), também conhecido como mínimo múltiplo comum — em notação matemática, o
de
e
.
Passo 3
Uma forma eficiente de calcular o MMC é usar a relação entre MMC e MDC (máximo divisor comum, ou gcd):
Aqui
e
. Primeiro vamos achar
usando o algoritmo de Euclides (passo a passo):
-
, -
.
Como o resto chegou a
,
.
Passo 4
Agora calculamos o
usando a fórmula:
Faço a conta com calma: primeiro
, então
Agora
. Portanto
Passo 5
Converter
para minutos e segundos: um minuto tem
. Dividindo,
Logo
.
Passo 6
Verificação rápida (cheia de segurança): quantas voltas cada um deu nesse tempo?
- Daniel:
voltas. - Fábio:
voltas.
Ambos estão exatamente no ponto de largada após, e não existe tempo positivo menor com essa propriedade (porque escolhemos o MMC). Então a resposta está correta.
Resposta
b)