07 - Daniel e Fábio são amigos há anos e, sempre que podem, saem para correr juntos. Certo dia Daniel sugeriu que cronometrassem suas corridas para saber ao certo qual é o desempenho de cada um. Para ter mais exatidão, decidiram correr numa pista circular, próxima à casa deles. Constataram, então, que Daniel dava uma volta completa em 24 segundos, enquanto Fábio demorava 28 segundos para fazer o mesmo percurso. Diante disso, Fábio questionou: “Se sairmos juntos de um mesmo local e no mesmo momento, em quanto tempo voltaremos a nos encontrar, pela primeira vez, neste mesmo ponto de largada?”
Assinale a alternativa CORRETA.
a) 3 \min 8 \mathrm{~s}
b) 2 \min 48 \mathrm{~s}
c) 1 \min 28 \mathrm{~s}
d) 2 \min 28 \mathrm{~s}
e) 1 min 48 s

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Daniel completa uma volta em 24\\ \mathrm{s}.
  • Fábio completa uma volta em 28\\ \mathrm{s}.
A pergunta é: se saírem juntos do mesmo ponto e ao mesmo instante, em quanto tempo voltarão a se encontrar pela primeira vez exatamente nesse ponto de largada?

Passo 2

Entendendo o que significa “voltar a se encontrar no mesmo ponto de largada”: isso ocorre quando o tempo decorrido t é simultaneamente um múltiplo do tempo de volta do Daniel e um múltiplo do tempo de volta do Fábio. Ou seja, existem inteiros positivos m e n tais que
t = m\cdot 24\\ \mathrm{s} = n\cdot 28\\ \mathrm{s}.
Queremos o menor t>0 com essa propriedade. Esse t é o mínimo múltiplo comum (MMC), também conhecido como mínimo múltiplo comum — em notação matemática, o \operatorname{lcm} de 24 e 28.

Passo 3

Uma forma eficiente de calcular o MMC é usar a relação entre MMC e MDC (máximo divisor comum, ou gcd):
\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\gcd(a,b)}.
Aqui a=24 e b=28. Primeiro vamos achar \gcd(24,28) usando o algoritmo de Euclides (passo a passo):
  • 28 = 24\cdot 1 + 4,
  • 24 = 4\cdot 6 + 0.
Como o resto chegou a 0, \gcd(24,28)=4.

Passo 4

Agora calculamos o \operatorname{lcm} usando a fórmula:
\operatorname{lcm}(24,28)=\frac{24\cdot 28}{\gcd(24,28)}=\frac{24\cdot 28}{4}.
Faço a conta com calma: primeiro \dfrac{24}{4}=6, então
\operatorname{lcm}(24,28)=6\cdot 28.
Agora 6\cdot 28 = 6\cdot(30-2)=180-12=168. Portanto
t=168\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Converter 168\\ \mathrm{s} para minutos e segundos: um minuto tem 60\\ \mathrm{s}. Dividindo,
168\div 60 = 2 \text{ minutos} \text{ (pois }2\cdot60=120\text{)} \text{ e sobra }168-120=48\\ \mathrm{s}.
Logo 168\\ \mathrm{s}=2\\ \min 48\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Verificação rápida (cheia de segurança): quantas voltas cada um deu nesse tempo?
  • Daniel: \dfrac{168}{24}=7 voltas.
  • Fábio: \dfrac{168}{28}=6 voltas.
    Ambos estão exatamente no ponto de largada após 168\\ \mathrm{s}, e não existe tempo positivo menor com essa propriedade (porque escolhemos o MMC). Então a resposta está correta.

Resposta

b) 2\\ \min 48\\ \mathrm{s}

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