[05] (2,0) Use o operador Transformada de Laplace para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais que verifiquem as condições iniciais dadas.
l y^prime prime+4 y^prime+4 y=e^-x x >= 0 y(0)=0 y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de segunda ordem
y''+4y'+4y=e^-x, x>=0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, usando o operador Transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
Ly'(s)=sY(s)-y(0) e
Ly''(s)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
além de Le^-x(s)=1/(s+1).

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais, temos
Ly''+4Ly'+4Ly =1s+1,
ou seja,
l(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)r)+4l(sY(s)-y(0)r)+4Y(s) =1s+1
Substituindo y(0)=0 e y'(0)=1,
s^2Y(s)-1+4sY(s)+4Y(s) =1s+1

Passo 3

Agrupando Y(s) e isolando,
Y(s)l(s^2+4s+4r) =1s+1+1 =s+2s+1,
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Y(s)=s+2(s+1)(s^2+4s+4) =s+2(s+1)(s+2)^2

Passo 4

Fazendo decomposição em frações parciais,
s+2(s+1)(s+2)^2 =As+1+Bs+2+C(s+2)^2
Calculando coeficientes dá A=1, B=-1, C=0, então
Y(s)=1s+1-1s+2

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo,
y(x)=L^-1Y(s) =L^-1l1s+1r -L^-1l1s+2r =e^-x-e^-2x

Resposta

y(x)=e^-x-e^-2x

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