[05] Use o operador Transformada de Laplace para determinar as soluções das seguintes equações diferenciais que verifiquem as condições iniciais dadas.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial linear de segunda ordem
y''+4y'+4y=e^-x, x>=0
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1, usando o operador Transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades Ly'(s)=sY(s)-y(0) e Ly''(s)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0),
além de Le^-x(s)=1/(s+1).
Passo 2
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais, temos