1. x^2 d yd x+sen x-y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x^2,dydx + sin x - y = 0
que é linear em y. O conteúdo aqui é o método do fator integrante para resolver
y' + P(x),y = Q(x)

Passo 2

Colocamos em forma padrão dividindo tudo por x^2:
dydx - 1x^2,y = -,sin xx^2
Aqui identificamos
P(x) = -1x^2, Q(x) = -sin xx^2

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral -tfrac1x^2,dxr) = expl(tfrac1xr)

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x), o lado esquerdo fica derivada de mu y:
ddxl(e^1/xyr) = e^1/x,l(-tfracsin xx^2r)

Passo 5

Integramos ambos os lados:
e^1/xy = -integral e^1/xsin xx^2,dx + C
Como ddxe^1/x=-tfrace^1/xx^2, reescrevemos
-integral e^1/xsin xx^2,dx = integral sin x,dl(e^1/xr)
Fazendo integração por partes com u=sin x, dv=d(e^1/x):
integral sin x,d(e^1/x) = sin x,e^1/x - integral e^1/xcos x,dx
Logo
e^1/xy = sin x,e^1/x - integral e^1/xcos x,dx + C

Passo 6

Isolando y (dividindo por e^1/x):
y(x) = sin x ;-; e^-1/xintegral e^1/xcos x,dx ;+; C,e^-1/x

Resposta

y(x) = sin x ;-; e^-1/xintegral e^1/xcos x,dx ;+; C,e^-1/x,
que é a solução geral da equação diferencial.

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