Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
3y'' - 2y' + 4y = 0, y(2)=1, y'(2)=-1
Isso envolve equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

O polinômio característico é
cuja solução é
Logo a solução geral da EDO é

Passo 3

Para determinar C1 e C2, usamos as condições iniciais em x=2. Definindo beta=tfracraiz113, temos
y(2)=e^2/3l(C1cos(2beta)+C2sin(2beta)r)=1 Longrightarrow C1cos(2beta)+C2sin(2beta)=e^-2/3
A derivada é
y'(x)=e^x/3l(tfrac13(C1cos(beta x)+C2sin(beta x)) +betal(-C1sin(beta x)+C2cos(beta x)r)r)
Logo
y'(2)=e^2/3l(tfrac13(C1cos(2beta)+C2sin(2beta)) +beta(-C1sin(2beta)+C2cos(2beta))r)=-1
Dividindo por e^2/3 e multiplicando por 3, obtemos
C1cos(2beta)+C2sin(2beta) +3betal(-C1sin(2beta)+C2cos(2beta)r) =-3e^-2/3
Usando C1cos(2beta)+C2sin(2beta)=e^-2/3, fica
-,C1sin(2beta)+C2cos(2beta)=-4e^-2/3raiz11

Passo 4

O sistema para
Como a matriz de coeficientes tem determinante (1], sua inversa é

e daí

Resposta

Com beta=tfracraiz113, a solução fica
y(x) = e^x/3l[ e^-2/3l(cos(2beta)+tfrac4raiz11sin(2beta)r)cos(beta x) +e^-2/3l(sin(2beta)-tfrac4raiz11cos(2beta)r)sin(beta x) r],
ou, simplificando o fator e^x/3e^-2/3=e^(x-2)/3,
y(x) = e^(x-2)/3l[ l(cos(2beta)+tfrac4raiz11sin(2beta)r)cos(beta x) +l(sin(2beta)-tfrac4raiz11cos(2beta)r)sin(beta x) r]

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