-055 Um disco de metal de massa m=1,50 \mathrm{~kg} descreve uma circunferência de raio r=20,0 \mathrm{~cm} sobre uma mesa sem atrito, enquanto permanece ligado a um cilindro de massa M =2,50 \mathrm{~kg} pendurado por um fio que passa por um furo no centro da mesa (Fig. 6-44). Que velocidade do disco mantém o cilindro em repouso?

Passo 1

O enunciado pede: “Que velocidade do disco mantém o cilindro em repouso?”\n\nDados fornecidos (peguei do enunciado e da figura):\n m=1,50\\ \mathrm{kg} (massa do disco que descreve a circunferência)\n r=20,0\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m} (raio da circunferência)\n M=2,50\\ \mathrm{kg} (massa do cilindro pendurado)\nA condição pedida: o cilindro permanece em repouso (ou seja, não sobe nem desce).

Passo 2

Entendendo as forças no cilindro: o cilindro tem duas forças verticais principais — o peso para baixo e a tensão do fio para cima. Se o cilindro está em repouso verticalmente, as forças verticais se equilibram. Assim, a tensão no fio T é igual ao peso do cilindro:
T = M g.
Aqui g é a aceleração da gravidade ( g\approx 9,80\\ \mathrm{m/s^2}). Explicação curta: equilíbrio significa soma das forças = 0, então T - Mg = 0\Rightarrow T=Mg.

Passo 3

Como a mesma corda está presa ao disco que se move em círculo, a tensão T fornece a força centrípeta necessária para manter o disco em movimento circular. Para um corpo de massa m movendo-se com velocidade v em raio r, a aceleração centrípeta é
a_c=\frac{v^2}{r}.
Significado: a_c é a aceleração dirigida para o centro, que aparece porque a direção da velocidade muda continuamente no movimento circular.

Passo 4

Força centrípeta e relação com a tensão: a força centrípeta que age sobre o disco vale
F_c = m a_c = m\frac{v^2}{r}.
Nesse problema a única força horizontal (radial) que puxa o disco para o centro é a tensão T. Logo:
T = m\frac{v^2}{r}.

Passo 5

Agora igualamos as duas expressões para T: a que veio do equilíbrio do cilindro e a que vem da necessidade de força centrípeta no disco:
M g = m\frac{v^2}{r}.
Isolando v:
v = \sqrt{\frac{M g r}{m}}.
Aqui expliquei cada passo: substituí a tensão por Mg (porque o cilindro está em repouso) e usei a fórmula da força centrípeta m v^2/r.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos e calculando com cuidado (unidades em SI):\n M g r = 2,50\cdot 9,80\cdot 0,20 = 4,90\nDividindo por m:\n \dfrac{4,90}{1,50}=3,266\dots\nAgora a raiz quadrada:\n v=\sqrt{3,266\dots}\approx 1,81\\ \mathrm{m/s}.
Pequeno comentário motivacional: beleza — foi direto! O raciocínio chave é equilibrar a tensão (do peso do cilindro) com a força centrípeta necessária para o disco.

Resposta

v=1,81\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados