-055 Um disco de metal de massa
descreve uma circunferência de raio
sobre uma mesa sem atrito, enquanto permanece ligado a um cilindro de massa
pendurado por um fio que passa por um furo no centro da mesa (Fig. 6-44). Que velocidade do disco mantém o cilindro em repouso?
Passo 1
O enunciado pede: “Que velocidade do disco mantém o cilindro em repouso?”\n\nDados fornecidos (peguei do enunciado e da figura):\n
(massa do disco que descreve a circunferência)\n
(raio da circunferência)\n
(massa do cilindro pendurado)\nA condição pedida: o cilindro permanece em repouso (ou seja, não sobe nem desce).
Passo 2
Entendendo as forças no cilindro: o cilindro tem duas forças verticais principais — o peso para baixo e a tensão do fio para cima. Se o cilindro está em repouso verticalmente, as forças verticais se equilibram. Assim, a tensão no fio
é igual ao peso do cilindro:
Aqui
é a aceleração da gravidade (
). Explicação curta: equilíbrio significa soma das forças = 0, então
.
Passo 3
Como a mesma corda está presa ao disco que se move em círculo, a tensão
fornece a força centrípeta necessária para manter o disco em movimento circular. Para um corpo de massa
movendo-se com velocidade
em raio
, a aceleração centrípeta é
Significado:
é a aceleração dirigida para o centro, que aparece porque a direção da velocidade muda continuamente no movimento circular.
Passo 4
Força centrípeta e relação com a tensão: a força centrípeta que age sobre o disco vale
Nesse problema a única força horizontal (radial) que puxa o disco para o centro é a tensão
. Logo:
Passo 5
Agora igualamos as duas expressões para
: a que veio do equilíbrio do cilindro e a que vem da necessidade de força centrípeta no disco:
Isolando
:
Aqui expliquei cada passo: substituí a tensão por
(porque o cilindro está em repouso) e usei a fórmula da força centrípeta
.
Passo 6
Substituindo os valores numéricos e calculando com cuidado (unidades em SI):\n
\nDividindo por
:\n
\nAgora a raiz quadrada:\n
Pequeno comentário motivacional: beleza — foi direto! O raciocínio chave é equilibrar a tensão (do peso do cilindro) com a força centrípeta necessária para o disco.