05.Calcule a integral tripla da funçäo f(x, y)=raizx^2+y^2 ,sobro o sólido definido pelo paraboloide z=1-(x^2+y^2) ,pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelo plano z=0

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla de f(x,y)=raizx^2+y^2 sobre o sólido E limitado pelo paraboloide z=1-(x^2+y^2), pelo plano z=0 e pelo cilindro x^2+y^2=1. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas e uso do jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
com jacobiano r. A região E fica
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi, 0 <= z <= 1 - r^2
E a integranda é
f(x,y)=raizx^2+y^2=r

Passo 3

O integral vira
integral triplaEraizx^2+y^2,dV =integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=0^,1-r^2 l(rr),(r),dz,dr,dtheta =integral0^2piintegral0^1integral0^1-r^2r^2,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^1-r^2r^2,dz =r^2l(1-r^2r)

Passo 5

Agora sobra
integral0^2pidthetaintegral0^1r^2(1-r^2),dr =2piintegral0^1(r^2 - r^4),dr
Calculando em r:
integral0^1(r^2 - r^4),dr =l[tfracr^33-tfracr^55r]0^1 =tfrac13-tfrac15 =tfrac215

Passo 6

Multiplicando por 2pi
2picdottfrac215 =tfrac4pi15

Resposta

4pi15

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