Exercício 3.1 Determine o valor do limite, se existir: mostre que :
lim x 2 x-2raiz[3]3 x-5-1=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto2x-2raiz[3]3x-5-1
Note que, ao substituir x=2 diretamente, o numerador e o denominador vão a zero, indicando uma forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos usar a identidade de diferença de cubos que permite “racionalizar” expressões com raiz cúbica:
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada:
numerador = 2-2=0, denominador = raiz[3]3cdot2-5-1 = raiz[3]1-1 = 1-1=0
Portanto, temos 0/0 e podemos aplicar a identidade para simplificar.

Passo 3

Defina a=raiz[3]3x-5 e b=1. Então
a-b = raiz[3]3x-5-1,
e
a^3-b^3 = (3x-5)-1 = 3x-6 = 3(x-2)
Pela identidade de diferença de cubos,
a-b = a^3-b^3a^2 + a b + b^2 = 3(x-2)(raiz[3]3x-5)^2 + raiz[3]3x-5cdot1 + 1^2

Passo 4

Substituindo essa expressão na fração original:
x-2raiz[3]3x-5-1 = x-2 3(x-2)(raiz[3]3x-5)^2 + raiz[3]3x-5 +1 = x-21cdot (raiz[3]3x-5)^2 + raiz[3]3x-5 +13(x-2)
Cancelando x-2neq0 para xneq2, obtemos
x-2raiz[3]3x-5-1 = (raiz[3]3x-5)^2 + raiz[3]3x-5 +13

Passo 5

Agora calculamos o limite fazendo xto2. Note que raiz[3]3cdot2-5=raiz[3]1=1, logo
limxto2(raiz[3]3x-5)^2 + raiz[3]3x-5 +13 = 1^2 + 1 +13 = 33 =1

Resposta

1

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