Calcule
ointC(-y x^2+e^x sen y) d x+(x^3+e^x cos y) d y
onde C consite no segmento de reta de (-1,1) até (1,1) seguido pelo arco de parábola y=2-x^2 de (1,1) a (-1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a integral de linha fechada
ointCP,dx + Q,dy
com
P(x,y) = -y x^2 + e^x sin y, Q(x,y) = x^3 + e^x cos y,
onde C é o caminho que vai de (-1,1) a (1,1) pelo segmento de reta y=1 e volta de (1,1) a (-1,1) seguindo a parábola y=2-x^2. Vamos usar o Teorema de Green para converter essa integral de linha em integral dupla sobre a região D limitada por essas curvas.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, como C é percorrida positivamente (anti-horário),
ointCP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Aqui D é o conjunto de pontos (x,y) tais que -1<= x<=1 e 1<= y<=2-x^2.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x =3x^2 + e^xcos y, partial Ppartial y =-x^2 + e^xcos y

Passo 4

Subtraindo, o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y =(3x^2 + e^xcos y)-(-x^2 + e^xcos y) =4x^2

Passo 5

Portanto a integral torna-se
ointCP,dx + Q,dy =integral duplaD4x^2,dA =integralx=-1^1!integraly=1^2-x^24x^2,dy,dx

Passo 6

Primeiro integramos em y:
integraly=1^2-x^24x^2,dy =4x^2l[(2-x^2)-1r] =4x^2(1-x^2)
Então
integral-1^14x^2(1-x^2),dx =8integral0^1(x^2-x^4),dx =8l[tfracx^33-tfracx^55r]0^1 =8l(tfrac13-tfrac15r) =tfrac1615

Resposta

1615

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