06 Um cilindro fechado em ambos os extremos é dividido em duas partes iguais (42 cm cada uma), por um pistão diatérmico. Em ambas as metades, encontram-se iguais massas de gás a uma temperatura de 27^circ C e pressão de 1 atm. Até quanto é necessário aquecer o gás em uma parte do cilindro, a fim de que o pistão se desloque em 2 cm? Encontrar a pressão p do gás após o deslocamento.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um cilindro fechado dividido por um pistão (que não deixa passar gás de um lado pro outro) em duas metades iguais, cada uma com “42 cm” de comprimento (seção constante). Em cada lado tem a mesma massa de gás a 27 °C e 1 atm. Aí a gente aquece SÓ o gás de um dos lados até que o pistão se mova 2 cm (ou seja, o volume passa de 42 cm para 44 cm desse lado e de 42 cm para 40 cm do outro). Pergunta: até que temperatura deve subir o gás aquecido e qual a pressão final p?
Conteúdo:
  • Lei dos gases ideais: $PV = nRT$
  • Equilíbrio mecânico (sem atrito): $P_1 = P_2$.

Passo 2

Definindo volumes (seção transversal = A, mas vai cancelar):
V₁ᵢ = A·42 e V₂ᵢ = A·42 (inicial)
V₁_f = A·44 e V₂_f = A·40 (final, pois o pistão deslocou 2 cm)

Passo 3

Teoria aplicada:
  1. Cada gás obedece a $P,V = n,R,T$.
  2. No equilíbrio final, como o pistão não tem atrito, a pressão em ambos os lados é a mesma:
    $P_f = P_{1,f} = P_{2,f}$.
  3. Para o lado 1 (o aquecido):
    $P_f = \dfrac{n,R,T_{1,f}}{V_{1,f}}$.
    Para o lado 2 (sem aquecer, T₂_f = T₂ᵢ):
    $P_f = \dfrac{n,R,T_{2,i}}{V_{2,f}}$.
    Igualando as duas expressões (cancelando nR):
    $\frac{T_{1,f}}{V_{1,f}} = \frac{T_{2,i}}{V_{2,f}}\
    \Rightarrow T_{1,f} = T_{2,i},\frac{V_{1,f}}{V_{2,f}}$.

Passo 4

Só botar números:
T₂ᵢ = 27 °C = 300 K
V₁_f/V₂_f = 44/40 = 1,10
Logo
$T_{1,f} = 300,K \times 1{,}10 = 330,K\
\approx 330 K - 273 = 57 °C$.

Passo 5

Pressão final p:
Podemos usar o lado 2, por exemplo:
$P_f = \frac{nRT_{2,i}}{V_{2,f}}\
\Big/\frac{nRT_{2,i}}{V_{2,i}} = \frac{V_{2,i}}{V_{2,f}} = \frac{42}{40} = 1{,}05\
\Rightarrow P_f = 1{,}05,atm$.

Resposta

Temos que aquecer o gás até 330 K (≈ 57 °C) e a pressão final será 1,05 atm.

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