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Dado o sistema linear abaixo nas incógnitas x, y e z, determine o(s) valor(es) de \boldsymbol{t}, tal que t \in \mathbb{R}, para que seja um sistema possível e indeterminado (SPI).
O enunciado fornece o sistema linear nas incógnitas x,y,z\):
\[\begin{cases} 2x+y+8z=-2,\\[4pt] 4x+5y+z=5,\\[4pt] 6x+3y+\bigl(t^{2}-1\bigr)z=t-1, \end{cases}
e pede: determinar os valores de t\in\mathbb{R}\] para que o sistema seja possível e indeterminado (SPI), ou seja, tenha infinitas soluções.
Informações relevantes dadas:
\(\;1.;As três equações lineares e o parâmetro t. \;2.;Queremos os t que tornam o sistema consistente e com múltiplas soluções (infinitas).]
Passo 2
O que significa ser “possível e indeterminado (SPI)”? Vou explicar devagarinho.
Um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas pode ter:
exatamente uma solução (sistema possível e determinado) quando as três equações são linearmente independentes (posto da matriz de coeficientes = 3);
nenhuma solução (impossível) quando as equações são contraditórias (posto da matriz de coeficientes < posto da matriz ampliada);
infinitas soluções (possível e indeterminado — SPI) quando o posto da matriz de coeficientes é menor que 3, mas igual ao posto da matriz ampliada (isto é, posto =1 ou 2, e matrizes coeficiente e ampliada têm o mesmo posto).
Então, para SPI precisamos que a matriz de coeficientes tenha determinante zero (posto < 3) e que a terceira linha (do ampliado) seja uma combinação linear das duas primeiras com o mesmo peso nos termos constantes — vamos testar isso.
Logo \det(A)=0 exatamente quando t=\pm 5. Isso significa que apenas para t=5 ou t=-5 o posto da matriz de coeficientes cai abaixo de 3 (condição necessária para SPI). Agora precisamos verificar a condição de consistência: o posto da matriz ampliada deve ser igual ao posto de A. Vou checar cada caso t=5 e t=-5.
Passo 7
Análise estrutural: se a terceira linha de coeficientes for combinação linear das duas primeiras, escrevemos
a(2,1,8)+b(4,5,1)=(6,3,t^{2}-1),
e resolvemos para a,b. Isso testa se a terceira linha é combinação das duas primeiras (ou seja, dependência linear entre linhas). Escrevo as igualdades por componentes:
\begin{cases} 2a + 4b = 6,\\[4pt] a + 5b = 3,\\[4pt] 8a + b = t^{2}-1. \end{cases}]
Passo 8
Resolvo as duas primeiras equações para a e b. Da primeira, divido por 2:
Então a=3. Isso mostra que, para os valores de t que fazem a dependência acontecer, a combinação esperada é simplesmente 3 vezes a primeira linha (e 0 vezes a segunda):
o que confirma os valores encontrados pelo determinante.
Passo 9
Agora preciso checar a parte do vetor dos termos constantes (matriz ampliada). Os termos à direita formam o vetor
\mathbf{b}=(-2,\,5,\,t-1).
Se a terceira equação for 3 vezes a primeira (como nas componentes), então, para que a matriz ampliada mantenha a mesma dependência, o terceiro termo constante também deve ser 3 vezes o primeiro termo constante. Ou seja, precisamos:
t-1 = 3\cdot(-2) = -6.
Resolvendo:
t-1=-6 \quad\Rightarrow\quad t=-5.
Passo 10
Conclusão dos testes:
Para t=-5: as linhas de coeficientes satisfazem \text{linha}_3 = 3\cdot\text{linha}_1 e também o termo independente satisfaz t-1=-6, ou seja, a terceira equação é exatamente 3 vezes a primeira, então posto da matriz de coeficientes = posto da matriz ampliada = 2 (❤️). Portanto o sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções) para t=-5.
Para t=5: embora a matriz de coeficientes seja singular (determinante zero), temos t-1=4 enquanto 3\cdot(-2)=-6; ou seja, a combinação dos termos constantes não coincide com a combinação das linhas de coeficientes — a matriz ampliada tem posto maior que a matriz de coeficientes (posto ampliado = 3, ou ao menos > posto coeficientes), logo o sistema é impossível (sem solução) para t=5.