A Seção de Educação Física da ESA elaborou uma pesquisa entre 60 alunos do Curso de Formação e Graduação de Sargentos sobre a preferência entre 3 modalidades esportivas: basquete ( B ), futebol ( F ) e vôlei ( V ). Os dados obtidos foram tabelados como se seguem:
Modalidade B F V B e F B e V F e V B, F e V
Quantidade de Alunos 27 20 25 5 8 7 2
Escolhendo-se aleatoriamente um aluno entre os 60 alunos pesquisados, qual a probabilidade de ele preferir, no máximo, uma modalidade esportiva?
(A) 0,7333 \ldots
(B) 0,7
(C) 0,6555 \ldots
(D) 0,4333 \ldots
(E) 0,6

Passo 1

O enunciado fornece uma pesquisa com 60 alunos sobre preferência entre três modalidades: basquete ( B), futebol ( F) e vôlei ( V). As quantidades dadas (retiradas da tabela do enunciado) são:
n(B)=27,\quad n(F)=20,\quad n(V)=25,
n(B\cap F)=5,\quad n(B\cap V)=8,\quad n(F\cap V)=7,\quad n(B\cap F\cap V)=2.
A pergunta é: escolhendo aleatoriamente um aluno, qual a probabilidade de ele preferir, no máximo, uma modalidade esportiva? Ou seja, qual a probabilidade de o aluno preferir zero ou exatamente uma das modalidades?

Passo 2

Vamos definir claramente o que queremos contar. “No máximo uma modalidade” significa:
\text{(nenhuma)}\quad\text{ou}\quad\text{(exatamente uma)}.
Então precisamos calcular o número de alunos que escolheram exatamente uma modalidade e o número que não escolheram nenhuma (se houver), somar esses dois e dividir por 60. Vou primeiro achar quantos escolheram pelo menos uma modalidade, para depois descobrir quantos não escolheram nenhuma.

Passo 3

Usamos o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos. A fórmula para o número de alunos que preferem pelo menos uma das modalidades é
n(B\cup F\cup V)=n(B)+n(F)+n(V)-n(B\cap F)-n(B\cap V)-n(F\cap V)+n(B\cap F\cap V).
Agora aplico os números da tabela (peguei-os do enunciado):
n(B\cup F\cup V)=27+20+25-(5+8+7)+2.

Passo 4

Faço as contas passo a passo:
27+20+25=72,
5+8+7=20,
72-20=52,
52+2=54.
Portanto n(B\cup F\cup V)=54. Isso significa que 54 alunos preferem pelo menos uma modalidade.

Passo 5

Logo, o número de alunos que não preferem nenhuma das três é
\text{nenhum} = 60 - n(B\cup F\cup V) = 60 - 54 = 6.
Interpretando: há 6 alunos que, segundo os dados, não marcaram nenhuma das três modalidades.

Passo 6

Agora vamos calcular quantos preferem exatamente uma modalidade. Para isso usamos a fórmula para “apenas B” (isto é, B e não F nem V):
n(\text{apenas }B)=n(B)-n(B\cap F)-n(B\cap V)+n(B\cap F\cap V).
A lógica: começamos com todos os de B, subtraímos os que também estão em B\cap F e em B\cap V; quem está no triplo foi subtraído duas vezes, por isso somamos n(B\cap F\cap V) de volta.

Passo 7

Calculo para cada modalidade (usando os números da tabela):
n(\text{apenas }B)=27-5-8+2=16,
n(\text{apenas }F)=20-5-7+2=10,
n(\text{apenas }V)=25-8-7+2=12.
Somando,
n(\text{exatamente uma})=16+10+12=38.

Passo 8

O número de alunos que preferem, no máximo, uma modalidade é a soma de “nenhum” e “exatamente uma”:
\text{no máximo uma} = 6 + 38 = 44.á
Portanto a probabilidade pedida é
\frac{44}{60}.

Passo 9

Simplifico a fração \dfrac{44}{60}. Dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{44}{60}=\frac{11}{15}.
Convertendo para decimal com repetição:
\frac{11}{15}=0,7333\ldots

Resposta

(A) 0,7333\ldots

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