A Seção de Educação Física da ESA elaborou uma pesquisa entre 60 alunos do Curso de Formação e Graduação de Sargentos sobre a preferência entre 3 modalidades esportivas: basquete ( B ), futebol ( F ) e vôlei ( V ). Os dados obtidos foram tabelados como se seguem:
Modalidade
B
F
V
B e F
B e V
F e V
B, F e V
Quantidade de Alunos
27
20
25
5
8
7
2
Escolhendo-se aleatoriamente um aluno entre os 60 alunos pesquisados, qual a probabilidade de ele preferir, no máximo, uma modalidade esportiva?
(A)
(B) 0,7
(C)
(D)
(E) 0,6
| Modalidade | B | F | V | B e F | B e V | F e V | B, F e V |
| Quantidade de Alunos | 27 | 20 | 25 | 5 | 8 | 7 | 2 |
(A)
(B) 0,7
(C)
(D)
(E) 0,6
Passo 1
O enunciado fornece uma pesquisa com
alunos sobre preferência entre três modalidades: basquete (
), futebol (
) e vôlei (
). As quantidades dadas (retiradas da tabela do enunciado) são:
A pergunta é: escolhendo aleatoriamente um aluno, qual a probabilidade de ele preferir, no máximo, uma modalidade esportiva? Ou seja, qual a probabilidade de o aluno preferir zero ou exatamente uma das modalidades?
Passo 2
Vamos definir claramente o que queremos contar. “No máximo uma modalidade” significa:
Então precisamos calcular o número de alunos que escolheram exatamente uma modalidade e o número que não escolheram nenhuma (se houver), somar esses dois e dividir por
. Vou primeiro achar quantos escolheram pelo menos uma modalidade, para depois descobrir quantos não escolheram nenhuma.
Passo 3
Usamos o princípio da inclusão-exclusão para três conjuntos. A fórmula para o número de alunos que preferem pelo menos uma das modalidades é
Agora aplico os números da tabela (peguei-os do enunciado):
Passo 4
Faço as contas passo a passo:
Portanto
. Isso significa que
alunos preferem pelo menos uma modalidade.
Passo 5
Logo, o número de alunos que não preferem nenhuma das três é
Interpretando: há
alunos que, segundo os dados, não marcaram nenhuma das três modalidades.
Passo 6
Agora vamos calcular quantos preferem exatamente uma modalidade. Para isso usamos a fórmula para “apenas
” (isto é,
e não
nem
):
A lógica: começamos com todos os de
, subtraímos os que também estão em
e em
; quem está no triplo foi subtraído duas vezes, por isso somamos
de volta.
Passo 7
Calculo para cada modalidade (usando os números da tabela):
Somando,
Passo 8
O número de alunos que preferem, no máximo, uma modalidade é a soma de “nenhum” e “exatamente uma”:
Portanto a probabilidade pedida é
Passo 9
Simplifico a fração
. Dividindo numerador e denominador por
:
Convertendo para decimal com repetição:
Resposta
(A)