05
Considere a equação:
x^{2}-\frac{9}{4} x+m=0
Sabendo que uma das raízes é o dobro da outra, marque a alternativa que apresenta o produto do numerador pelo denominador de m.
(A) 72
(B) 36
(C) 24
(D) 18
(E) 12

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}-\frac{9}{4}x+m=0
e informa que uma das raízes é o dobro da outra. A pergunta é: qual é o produto do numerador pelo denominador de m quando m estiver na forma de fração irredutível? Informações importantes extraídas do enunciado:
\text{coeficientes: } a=1,\quad b=-\frac{9}{4},\quad c=m.
A condição extra: se as raízes forem \alpha e \beta, então uma é o dobro da outra, isto é, existe r tal que \alpha=r e \beta=2r.

Passo 2

Vamos usar uma relação fundamental entre coeficientes e raízes de uma equação quadrática (fórmulas de Viète). Para a equação geral
ax^{2}+bx+c=0,
as raízes \alpha e \beta satisfazem:
\alpha+\beta=-\frac{b}{a}
e
\alpha\beta=\frac{c}{a}.
Aqui eu explico cada símbolo: a é o coeficiente de x^{2}, b é o coeficiente de x, c é o termo constante; \alpha e \beta são as duas raízes (valores de x que satisfazem a equação). No nosso caso a=1, b=-\frac{9}{4} e c=m. Portanto a soma das raízes é
\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-\frac{9}{4}}{1}=\frac{9}{4},
e o produto das raízes é
\alpha\beta=\frac{c}{a}=\frac{m}{1}=m.

Passo 3

Como uma raiz é o dobro da outra, defino \alpha=r e \beta=2r. Usando a soma das raízes:
r+2r=3r=\frac{9}{4}.
Agora resolvo para r: dividindo ambos os lados por 3,
r=\frac{\frac{9}{4}}{3}=\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}.
Pequeno comentário: ao dividir frações, multiplicamos pelo inverso; aqui \frac{9}{4}\div 3=\frac{9}{4}\cdot\frac{1}{3}.

Passo 4

Agora calculo o produto das raízes, que é m. Como \alpha=r e \beta=2r,
m=\alpha\beta=r\cdot 2r=2r^{2}.
Substituo r=\frac{3}{4}:
m=2\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=2\cdot\frac{9}{16}=\frac{18}{16}.
Simplifico a fração dividindo numerador e denominador por 2:
m=\frac{9}{8}.
Portanto m na forma irredutível é \frac{9}{8}, com numerador 9 e denominador 8.

Passo 5

A pergunta pede o produto do numerador pelo denominador de m. Multiplico 9 por 8:
9\cdot 8=72.
Você chegou aqui certinho — respirou, seguiu as contas passo a passo e encontrou m. Tá indo bem, continua assim!

Resposta

(A) 72

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