05
Considere a equação:
Sabendo que uma das raízes é o dobro da outra, marque a alternativa que apresenta o produto do numerador pelo denominador de
.
(A) 72
(B) 36
(C) 24
(D) 18
(E) 12
Considere a equação:
(A) 72
(B) 36
(C) 24
(D) 18
(E) 12
Passo 1
O enunciado dá a equação
e informa que uma das raízes é o dobro da outra. A pergunta é: qual é o produto do numerador pelo denominador de
quando
estiver na forma de fração irredutível? Informações importantes extraídas do enunciado:
A condição extra: se as raízes forem
e
, então uma é o dobro da outra, isto é, existe
tal que
e
.
Passo 2
Vamos usar uma relação fundamental entre coeficientes e raízes de uma equação quadrática (fórmulas de Viète). Para a equação geral
as raízes
e
satisfazem:
e
Aqui eu explico cada símbolo:
é o coeficiente de
,
é o coeficiente de
,
é o termo constante;
e
são as duas raízes (valores de
que satisfazem a equação). No nosso caso
,
e
. Portanto a soma das raízes é
e o produto das raízes é
Passo 3
Como uma raiz é o dobro da outra, defino
e
. Usando a soma das raízes:
Agora resolvo para
: dividindo ambos os lados por
,
Pequeno comentário: ao dividir frações, multiplicamos pelo inverso; aqui
.
Passo 4
Agora calculo o produto das raízes, que é
. Como
e
,
Substituo
:
Simplifico a fração dividindo numerador e denominador por
:
Portanto
na forma irredutível é
, com numerador
e denominador
.
Passo 5
A pergunta pede o produto do numerador pelo denominador de
. Multiplico
por
:
Você chegou aqui certinho — respirou, seguiu as contas passo a passo e encontrou
. Tá indo bem, continua assim!
Resposta
(A) 72