02 Sabendo-se que \mathbf{x} é um número inteiro positivo e par e y é um número inteiro positivo e ímpar, analise as assertivas abaixo:
I - x+y é um número ímpar.
II - 2 x+3 y é um número ímpar.
III - 3 x+2 y é um número ímpar.
IV - (x-y)^{2} é um número ímpar.
Após analisar as assertivas, marque a alternativa correta:
(A) Todas as assertivas estão corretas.
(B) Somente II e III estão corretas.
(C) Somente I, II e IV estão corretas.
(D) Somente I e ll estão corretas.
(E) Somente II e IV estão corretas.

Passo 1

O enunciado diz que x é um número inteiro positivo e par e que y é um número inteiro positivo e ímpar. Precisamos analisar a veracidade das quatro assertivas abaixo:
I - x+y é um número ímpar.
II - 2x+3y é um número ímpar.
III - 3x+2y é um número ímpar.
IV - (x-y)^{2} é um número ímpar.
A tarefa é determinar quais dessas assertivas são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A) a (E).

Passo 2

Vamos representar de forma genérica um inteiro par e um inteiro ímpar, porque assim podemos provar as assertivas para todos os casos, não só por exemplo numérico. Como x é par, existe um inteiro k tal que
x = 2k,
onde k é um número inteiro positivo. Como y é ímpar, existe um inteiro \ell tal que
y = 2\ell + 1,
onde \ell é um inteiro (pelo menos zero, já que y é positivo).
Breve revisão útil sobre paridade (pra fixar):
  • Um número é par quando pode ser escrito como 2 vezes um inteiro.
  • Um número é ímpar quando pode ser escrito como 2 vezes um inteiro mais 1.
  • Regras rápidas: par + par = par, ímpar + ímpar = par, par + ímpar = ímpar. Multiplicar qualquer inteiro por um número par dá um número par; multiplicar por um número ímpar preserva a paridade do inteiro multiplicado.

Passo 3

Análise da assertiva I: x + y.
Substituindo as formas gerais:
x+y = 2k + (2\ell+1) = 2(k+\ell) + 1.
A expressão 2(k+\ell)+1 tem a forma de um número ímpar (um dobro de um inteiro mais 1). Portanto x+y é ímpar. Conclusão: a assertiva I é verdadeira.
(Exemplo numérico para intuição: se x=4 e y=3, então x+y=7, ímpar — funciona.)

Passo 4

Análise da assertiva II: 2x + 3y.
Substituindo:
2x + 3y = 2(2k) + 3(2\ell+1) = 4k + 6\ell + 3.
Agrupando em um dobro mais um:
4k + 6\ell + 3 = 2(2k + 3\ell + 1) + 1.
Isso está na forma 2(\text{inteiro}) + 1, ou seja, é ímpar. Outra forma de ver: 2x é par (porque 2 vezes qualquer inteiro é par) e 3y é ímpar (porque y é ímpar e 3 é ímpar, produto de ímpar por ímpar é ímpar); par + ímpar = ímpar. Conclusão: a assertiva II é verdadeira.
(Exemplo numérico: com x=4 e y=3, 2x+3y = 8 + 9 = 17, ímpar.)

Passo 5

Análise da assertiva III: 3x + 2y.
Substituindo:
3x + 2y = 3(2k) + 2(2\ell+1) = 6k + 4\ell + 2.
Fatorando 2:
6k + 4\ell + 2 = 2(3k + 2\ell + 1).
Isso é um múltiplo de 2, logo é par. Outra visão: 3x é par (porque x é par e 3 é ímpar, mas par vezes qualquer inteiro é par) e 2y é par (porque tem o fator 2); soma de dois pares é par. Portanto 3x+2y é par, não ímpar. Conclusão: a assertiva III é falsa.
(Exemplo numérico: com x=4 e y=3, 3x+2y = 12 + 6 = 18, par.)

Passo 6

Análise da assertiva IV: (x-y)^2.
Primeiro determinamos a paridade de x-y. Substituindo:
x - y = 2k - (2\ell+1) = 2(k-\ell) - 1.
Podemos reescrever 2(k-\ell)-1 como 2(k-\ell-1) + 1, que é da forma 2(\text{inteiro}) + 1. Portanto x-y é ímpar.
Agora, o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar. Para ver isso algebraicamente, se um número ímpar é 2s+1 então
(2s+1)^2 = 4s^2 + 4s + 1 = 2(2s^2 + 2s) + 1,
que é da forma 2(\text{inteiro}) + 1, ou seja, ímpar. Aplicando isso ao x-y (que mostramos ser ímpar), conclui-se que (x-y)^2 é ímpar. Conclusão: a assertiva IV é verdadeira.
(Exemplo numérico: com x=4 e y=3, x-y=1 e (x-y)^2=1, ímpar.)

Passo 7

Resumindo as conclusões: I é verdadeira, II é verdadeira, III é falsa, IV é verdadeira. Ou seja, estão corretas I, II e IV.

Resposta

(C)

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