02 Sabendo-se que
é um número inteiro positivo e par e y é um número inteiro positivo e ímpar, analise as assertivas abaixo:
I -
é um número ímpar.
II -
é um número ímpar.
III -
é um número ímpar.
IV -
é um número ímpar.
Após analisar as assertivas, marque a alternativa correta:
(A) Todas as assertivas estão corretas.
(B) Somente II e III estão corretas.
(C) Somente I, II e IV estão corretas.
(D) Somente I e ll estão corretas.
(E) Somente II e IV estão corretas.
II -
III -
IV -
Após analisar as assertivas, marque a alternativa correta:
(A) Todas as assertivas estão corretas.
(B) Somente II e III estão corretas.
(C) Somente I, II e IV estão corretas.
(D) Somente I e ll estão corretas.
(E) Somente II e IV estão corretas.
Passo 1
O enunciado diz que
é um número inteiro positivo e par e que
é um número inteiro positivo e ímpar. Precisamos analisar a veracidade das quatro assertivas abaixo:
I -
é um número ímpar.
II - é um número ímpar.
III - é um número ímpar.
IV - é um número ímpar.
II -
III -
IV -
A tarefa é determinar quais dessas assertivas são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A) a (E).
Passo 2
Vamos representar de forma genérica um inteiro par e um inteiro ímpar, porque assim podemos provar as assertivas para todos os casos, não só por exemplo numérico. Como
é par, existe um inteiro
tal que
onde
é um número inteiro positivo. Como
é ímpar, existe um inteiro
tal que
onde
é um inteiro (pelo menos zero, já que
é positivo).
Breve revisão útil sobre paridade (pra fixar):
- Um número é par quando pode ser escrito como
vezes um inteiro. - Um número é ímpar quando pode ser escrito como
vezes um inteiro mais . - Regras rápidas: par + par = par, ímpar + ímpar = par, par + ímpar = ímpar. Multiplicar qualquer inteiro por um número par dá um número par; multiplicar por um número ímpar preserva a paridade do inteiro multiplicado.
Passo 3
Análise da assertiva I:
.
Substituindo as formas gerais:
A expressão
tem a forma de um número ímpar (um dobro de um inteiro mais
). Portanto
é ímpar. Conclusão: a assertiva I é verdadeira.
(Exemplo numérico para intuição: se
e
, então
, ímpar — funciona.)
Passo 4
Análise da assertiva II:
.
Substituindo:
Agrupando em um dobro mais um:
Isso está na forma
, ou seja, é ímpar. Outra forma de ver:
é par (porque
vezes qualquer inteiro é par) e
é ímpar (porque
é ímpar e
é ímpar, produto de ímpar por ímpar é ímpar); par + ímpar = ímpar. Conclusão: a assertiva II é verdadeira.
(Exemplo numérico: com
e
,
, ímpar.)
Passo 5
Análise da assertiva III:
.
Substituindo:
Fatorando
:
Isso é um múltiplo de
, logo é par. Outra visão:
é par (porque
é par e
é ímpar, mas par vezes qualquer inteiro é par) e
é par (porque tem o fator
); soma de dois pares é par. Portanto
é par, não ímpar. Conclusão: a assertiva III é falsa.
(Exemplo numérico: com
e
,
, par.)
Passo 6
Análise da assertiva IV:
.
Primeiro determinamos a paridade de
. Substituindo:
Podemos reescrever
como
, que é da forma
. Portanto
é ímpar.
Agora, o quadrado de um número ímpar é sempre ímpar. Para ver isso algebraicamente, se um número ímpar é
então
que é da forma
, ou seja, ímpar. Aplicando isso ao
(que mostramos ser ímpar), conclui-se que
é ímpar. Conclusão: a assertiva IV é verdadeira.
(Exemplo numérico: com
e
,
e
, ímpar.)
Passo 7
Resumindo as conclusões: I é verdadeira, II é verdadeira, III é falsa, IV é verdadeira. Ou seja, estão corretas I, II e IV.
Resposta
(C)