[06] Determine uma base ortonormal B_{O} em relação ao produto interno usual para o seguinte subespaço de \mathbb{R}^{3}
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x-2 y+2 z=0\right\}

Passo 1

Resumimos o enunciado: O subespaço W\subset\mathbb{R}^3 é dado por
W=\{(x,y,z)\mid x-2y+2z=0\}.
Isso define um plano de dimensão 2. Precisamos encontrar dois vetores independentes em W e aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal relativa ao produto interno usual.

Passo 2

Escolhemos dois vetores em W que satisfaçam a condição x-2y+2z=0. Por exemplo, tomemos
v_1=(2,1,0),\quad 2-2\cdot1+2\cdot0=0,
v_2=(-2,0,1),\quad -2-2\cdot0+2\cdot1=0.

Passo 3

Normalizamos v_1 para obter o primeiro vetor ortonormal u_1. Calculamos
\|v_1\|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt5,
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u_1=\frac{v_1}{\|v_1\|}=\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},\tfrac{1}{\sqrt5},0\Bigr).

Passo 4

Para obter o segundo vetor u_2, projetamos v_2 sobre u_1 e subtraímos:
\mathrm{proj}_{u_1}(v_2)=(v_2\cdot u_1)\,u_1, \quad v_2\cdot u_1=(-2)\tfrac{2}{\sqrt5}+0\cdot\tfrac{1}{\sqrt5}+1\cdot0=-\tfrac{4}{\sqrt5}.
Então
w=v_2-\mathrm{proj}_{u_1}(v_2)=(-2,0,1)+\tfrac{4}{\sqrt5}\,u_1 =\Bigl(-\tfrac{2}{5},\tfrac{4}{5},1\Bigr).
Calculamos
\|w\|=\sqrt{\bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^2+1^2} =\sqrt{\tfrac{4+16}{25}+1}=\sqrt{\tfrac{20}{25}+1}=\tfrac{3}{\sqrt5},
e finalmente
u_2=\frac{w}{\|w\|}=\Bigl(-\tfrac{2\sqrt5}{15},\tfrac{4\sqrt5}{15},\tfrac{\sqrt5}{3}\Bigr).

Resposta

A base ortonormal de W relativa ao produto interno usual é
B_O=\Bigl\{\,u_1,u_2\Bigr\} \quad\text{com}\quad u_1=\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt5},\tfrac{1}{\sqrt5},0\Bigr), \quad u_2=\Bigl(-\tfrac{2\sqrt5}{15},\tfrac{4\sqrt5}{15},\tfrac{\sqrt5}{3}\Bigr).

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