[04] Seja M(2,3, \mathbb{R}) espaço vetorial com o produto interno canônico. Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 3 \\\\ 2 & 5 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right]
Determine:
(a) A norma (comprimento) de A e B.
(b) A distância entre A e B.
(c) O ângulo entre A e B.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial M(2,3,\mathbb{R}) com o produto interno canônico, em que para duas matrizes X=(x_{ij}) e Y=(y_{ij}) definimos
\langle X,Y\rangle = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{3}x_{ij}\,y_{ij}.
Pede-se (a) as normas de A e B, (b) a distância entre A e B e (c) o ângulo entre A e B. Vamos usar as definições
\|X\| = \sqrt{\langle X,X\rangle}, \quad d(X,Y)=\|X-Y\|, \quad \cos\theta = \frac{\langle X,Y\rangle}{\|X\|\|Y\|}.

Passo 2

Calcular \|A\| e \|B\|.
Para
A=\begin{pmatrix}0 & -1 & 3 \\\\ 2 & 5 & 1\end{pmatrix}
temos
\|A\| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 3^2 + 2^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 9 + 4 + 25 + 1} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.
Para
B=\begin{pmatrix}-3 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix}
temos
\|B\| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 1 + 4} = \sqrt{15}.

Passo 3

Calcular a distância d(A,B)=\|A-B\|. Primeiro
A - B = \begin{pmatrix} 0-(-3) & -1-0 & 3-1\\\\ 2-0 & 5-(-1) & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & -1 & 2\\\ 2 & 6 & -1\end{pmatrix}.
Então
\|A-B\| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2 + 2^2 + 6^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4 + 4 + 36 + 1} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}.

Passo 4

Calcular o ângulo \theta via
\langle A,B\rangle = 0\cdot(-3) + (-1)\cdot0 + 3\cdot1 + 2\cdot0 + 5\cdot(-1) + 1\cdot2 = 3 - 5 + 2 = 0.
Logo
\cos\theta = \frac{\langle A,B\rangle}{\|A\|\|B\|} = \frac{0}{(2\sqrt{10})(\sqrt{15})} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \frac{\pi}{2}.

Resposta

(a) \|A\|=2\sqrt{10}, \|B\|=\sqrt{15}.
(b) d(A,B)=3\sqrt{6}.
(c) \theta=\frac{\pi}{2}.

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