[07] Seja B=\{(-1,1),(1,1)\} uma base de \mathbb{R}^{2}. Ache uma base ortonormal B_{O} de \mathbb{R}^{2} em relação ao produto interno
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)\right\rangle=3 x_{1} x_{2}-x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+y_{1} y_{2}
começando da base B.

Passo 1

O enunciado pede para, a partir da base B=\{v_{1},v_{2}\} com
v_{1}=(-1,1),\quad v_{2}=(1,1),
aplicar o processo de Gram–Schmidt em \mathbb{R}^2 usando o produto interno
\langle(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle=3x_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}+y_{1}y_{2},
e obter uma base ortonormal B_{O}=\{e_{1},e_{2}\}. Vamos lembrar que Gram–Schmidt gera primeiro um vetor ortogonal u_{1}=v_{1}, depois normaliza para e_{1}, e então ortogonaliza v_{2} em relação a e_{1}, obtendo u_{2}, e finalmente normaliza u_{2} para e_{2}.

Passo 2

Calcular os produtos internos entre v_{1} e v_{2}:
\langle v_{1},v_{1}\rangle =3(-1)^{2}-(-1)\cdot1-(-1)\cdot1+1^{2} =6
\langle v_{2},v_{1}\rangle =3\cdot1\cdot(-1)-1\cdot1-(-1)\cdot1+1\cdot1 =-2
\langle v_{2},v_{2}\rangle =3\cdot1^{2}-1\cdot1-1\cdot1+1^{2} =2

Passo 3

Normalizar v_{1} para obter
e_{1} =\frac{v_{1}}{\sqrt{\langle v_{1},v_{1}\rangle}} =\frac{(-1,1)}{\sqrt{6}} =\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{6}},\,\tfrac{1}{\sqrt{6}}\Bigr).

Passo 4

Projetar v_{2} sobre e_{1} e definir u_{2}:
\langle v_{2},e_{1}\rangle =\frac{\langle v_{2},v_{1}\rangle}{\sqrt{\langle v_{1},v_{1}\rangle}} =\frac{-2}{\sqrt{6}},
logo
\mathrm{proj}_{e_{1}}(v_{2}) =\langle v_{2},e_{1}\rangle\,e_{1} =-\tfrac{2}{\sqrt{6}}\;\frac{(-1,1)}{\sqrt{6}} =-\tfrac{1}{3}\,v_{1}.
Assim
u_{2} =v_{2}-\mathrm{proj}_{e_{1}}(v_{2}) =(1,1)+\tfrac{1}{3}(-1,1) =\Bigl(\tfrac{2}{3},\,\tfrac{4}{3}\Bigr).

Passo 5

Normalizar u_{2}:
\langle u_{2},u_{2}\rangle =3\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{2} -2\Bigl(\tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{4}{3}\Bigr) +\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^{2} =\tfrac{4}{3},
então
e_{2} =\frac{u_{2}}{\sqrt{\langle u_{2},u_{2}\rangle}} =\frac{\bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3}\bigr)}{2/\sqrt{3}} =\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{3},\,\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\Bigr).

Resposta

A base ortonormal procurada é
B_{O} =\Bigl\{\,\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{6}},\tfrac{1}{\sqrt{6}}\bigr), \bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{3},\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\bigr)\Bigr\}.

Exercícios relacionados