[05] Considere o espaço vetorial \mathbb{R}^{3} com o produto interno canônico. Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dada por T(x, y, z)=(x+z, x-y, y+z) e seja W=\operatorname{Im}(T).
Encontre uma base ortonormal B_{O} para W em relação ao produto interno
\left\langle\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)\right\rangle=2 x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+4 z_{1} z_{2}

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial \mathbb{R}^3 com o produto interno
\langle (x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\rangle=2x_1x_2+y_1y_2+4z_1z_2,
e define T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 por
T(x,y,z)=(x+z,\;x-y,\;y+z),
tomando W=\Im(T).
Para encontrar uma base ortonormal de W vamos:
  1. Determinar um gerador (base) de W.
  2. Aplicar o processo de Gram–Schmidt com o produto interno dado.

Passo 2

Calculemos as imagens dos vetores da base canônica:
v_1 = T(1,0,0) = (1,1,0),\quad v_2 = T(0,1,0) = (0,-1,1),\quad v_3 = T(0,0,1) = (1,0,1).
Note que
v_1 + v_2 = (1,1,0)+(0,-1,1) = (1,0,1)=v_3,
logo \{v_1,v_2\} já gera W e \dim W=2.

Passo 3

Começamos o Gram–Schmidt com u_1=v_1=(1,1,0).
Calculemos a norma de u_1:
\langle u_1,u_1\rangle =2\cdot1^2+1^2+4\cdot0^2=2+1+0=3,
logo \|u_1\|=\sqrt{3}.
Definimos então o primeiro vetor ortonormal
e_1 = \frac{u_1}{\|u_1\|} = \frac1{\sqrt{3}}(1,1,0).

Passo 4

Agora projetamos v_2 sobre e_1:
\langle v_2,e_1\rangle =2\cdot0\cdot\frac1{\sqrt3}+(-1)\cdot\frac1{\sqrt3}+4\cdot1\cdot0 =-\frac1{\sqrt3}.
Definimos
u_2 = v_2 - \langle v_2,e_1\rangle\,e_1 = (0,-1,1) + \frac1{\sqrt3}\,\frac1{\sqrt3}(1,1,0) = \Bigl(\tfrac13,-\tfrac23,1\Bigr).
Calculemos a norma de u_2:
\langle u_2,u_2\rangle =2\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{2}+\Bigl(-\tfrac23\Bigr)^{2}+4\cdot1^2 =\tfrac{2}{9}+\tfrac{4}{9}+4 =\tfrac{6}{9}+4 =\tfrac{2}{3}+4 =\tfrac{14}{3},
logo \|u_2\|=\sqrt{\tfrac{14}{3}}.
O segundo vetor ortonormal é
e_2 = \frac{u_2}{\|u_2\|} = \sqrt{\frac{3}{14}}\;\Bigl(\tfrac13,-\tfrac23,1\Bigr).

Resposta

Uma base ortonormal de W para o produto interno dado é
B_O = \Bigl\{\,e_1,e_2\Bigr\} \quad\text{com}\quad e_1 = \frac1{\sqrt{3}}(1,1,0), \quad e_2 = \sqrt{\frac{3}{14}}\;\Bigl(\tfrac13,-\tfrac23,1\Bigr).

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