[05] Considere o espaço vetorial
com o produto interno canônico. Seja
dada por
e seja
.
Encontre uma base ortonormal
para
em relação ao produto interno
Encontre uma base ortonormal
Passo 1
O enunciado trabalha no espaço vetorial
com o produto interno
e define
por
tomando
.
Para encontrar uma base ortonormal de vamos:
Para encontrar uma base ortonormal de
- Determinar um gerador (base) de
. - Aplicar o processo de Gram–Schmidt com o produto interno dado.
Passo 2
Calculemos as imagens dos vetores da base canônica:
Note que
logo
já gera
e
.
Passo 3
Começamos o Gram–Schmidt com
.
Calculemos a norma de :
Calculemos a norma de
logo
.
Definimos então o primeiro vetor ortonormal
Definimos então o primeiro vetor ortonormal
Passo 4
Agora projetamos
sobre
:
Definimos
Calculemos a norma de
:
logo
.
O segundo vetor ortonormal é
O segundo vetor ortonormal é
Resposta
Uma base ortonormal de
para o produto interno dado é