63 Considere um líquido de volume
a
em um recipiente e
o volume do mesmo líquido a uma temperatura
em outro recipiente. Mostre que o volume final após os dois líquidos serem misturados é
.
Passo 1
O enunciado dá duas porções do mesmo líquido e pede para mostrar qual é o volume final depois de misturá-las. Informações e o que nos pediram explicitamente:
- Temos uma porção A do líquido com volume
à temperatura . - Temos uma porção B do mesmo líquido com volume
à temperatura (em graus Celsius). - As duas porções são misturadas isoladamente (ou seja, sem troca de calor com o ambiente), formando um único corpo de líquido que atinge uma temperatura de equilíbrio
. - Queremos mostrar que o volume final da mistura é
.
Dados que vamos usar (já implícitos no enunciado): o líquido tem coeficiente de dilatação volumétrica constante
(usamos a fórmula linear de expansão volumétrica válida para variações moderadas de temperatura) e calor específico por massa
(o mesmo para ambas as porções, porque é o mesmo líquido). Não nos pediram o valor de
; queremos apenas provar que o volume final não depende de
,
nem de
e é igual a
.
Passo 2
Apresento a fórmula básica da dilatação volumétrica linear (aquela que vamos usar bastante). Para uma certa massa fixa do líquido, seja
o seu volume à temperatura de referência
. O volume dessa mesma massa à temperatura
é dado por:
Explicando cada símbolo:
-
é o volume da mesma massa à temperatura . -
é o volume dessa massa a . -
é o coeficiente de dilatação volumétrica (unidade ). -
é a temperatura em graus Celsius.
Essa fórmula é uma aproximação linear, válida para variações de temperatura não muito grandes; é a hipótese comum nesses exercícios.
Passo 3
Relacionando volumes e massas: seja
a densidade do líquido a
. Para uma porção cuja volume a
é
, sua massa é
Agora aplicamos isso às duas porções:
- A porção A tem volume
a . Logo o seu volume de referência é e sua massa é
- A porção B tem volume
à temperatura . Queremos saber qual seria o volume dela a : chamamos isso de . Pela fórmula de dilatação,
portanto
A massa da porção B é então
Passo 4
Conservação da energia para o processo adiabático de mistura (assumimos recipientes isolados entre si e sem perda de calor para o ambiente): a soma das variações de energia térmica é zero. Como o líquido é o mesmo, o calor específico por massa
é o mesmo para ambas. A equação de equilíbrio térmico é:
Expliquei: o primeiro termo é o calor ganho (ou perdido) pela porção A ao ir de
a
; o segundo é o calor ganho (ou perdido) pela porção B ao ir de
a
. O somatório é zero porque o conjunto é isolado. Podemos simplificar cancelando
(não nulo) e resolver para
:
Logo
Passo 5
Substituímos as expressões de
e
em termos dos volumes de referência (obtidos no Passo 3). Lembrete:
Ao colocar essas na fórmula de
os
cancelam:
Passo 6
Agora vamos calcular o volume total final. Primeiro note que o volume total à temperatura de referência
(isto é, somando os volumes a
das duas massas) é
Quando a mistura atinge a temperatura final
, o volume total final é esse volume de referência multiplicado por
:
Passo 7
Substituímos o valor de
calculado no Passo 5 na expressão de
e simplificamos cuidadosamente. Primeiro calcule
:
No numerador juntei termos e observei
, logo
Passo 8
Agora volte a
e use a forma conveniente de
:
Multiplicando com
do Passo 7:
Perceba que
aparece tanto no numerador quanto no denominador e que
também cancela. Após essas cancelasções sobra simplesmente
Passo 9
Conclusão física curta e intuitiva: apesar das dilatações térmicas e da troca de calor entre as porções, a combinação das relações de massa, densidade e energia faz com que, no final, o volume final da mistura seja exatamente a soma dos volumes medidos nas condições iniciais dadas (
a
e
a
). Isso acontece porque a variação de densidade com temperatura e a forma como a temperatura de equilíbrio é calculada fazem com que os fatores dependentes de
e
se cancelem.