63 Considere um líquido de volume V_{1} a 0^{\circ} \mathrm{C} em um recipiente e V_{2} o volume do mesmo líquido a uma temperatura t em outro recipiente. Mostre que o volume final após os dois líquidos serem misturados é V_{1}+V_{2}.

Passo 1

O enunciado dá duas porções do mesmo líquido e pede para mostrar qual é o volume final depois de misturá-las. Informações e o que nos pediram explicitamente:
  • Temos uma porção A do líquido com volume \,V_{1}\, à temperatura \,0^\circ\mathrm{C}\,.
  • Temos uma porção B do mesmo líquido com volume \,V_{2}\, à temperatura \,t (em graus Celsius).
  • As duas porções são misturadas isoladamente (ou seja, sem troca de calor com o ambiente), formando um único corpo de líquido que atinge uma temperatura de equilíbrio \,\theta.
  • Queremos mostrar que o volume final da mistura é \,V_{1}+V_{2}.
Dados que vamos usar (já implícitos no enunciado): o líquido tem coeficiente de dilatação volumétrica constante \,\gamma\, (usamos a fórmula linear de expansão volumétrica válida para variações moderadas de temperatura) e calor específico por massa \,c\, (o mesmo para ambas as porções, porque é o mesmo líquido). Não nos pediram o valor de \theta; queremos apenas provar que o volume final não depende de \gamma, c nem de \theta e é igual a \,V_{1}+V_{2}.

Passo 2

Apresento a fórmula básica da dilatação volumétrica linear (aquela que vamos usar bastante). Para uma certa massa fixa do líquido, seja \,V_0\, o seu volume à temperatura de referência \,0^\circ\mathrm{C}. O volume dessa mesma massa à temperatura \,T é dado por:
V(T)=V_0\,(1+\gamma T).
Explicando cada símbolo:
  • \,V(T)\, é o volume da mesma massa à temperatura \,T.
  • \,V_0\, é o volume dessa massa a \,0^\circ\mathrm{C}.
  • \,\gamma\, é o coeficiente de dilatação volumétrica (unidade ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}).
  • \,T\, é a temperatura em graus Celsius.
Essa fórmula é uma aproximação linear, válida para variações de temperatura não muito grandes; é a hipótese comum nesses exercícios.

Passo 3

Relacionando volumes e massas: seja \,\rho_0\, a densidade do líquido a \,0^\circ\mathrm{C}. Para uma porção cuja volume a 0^\circ\mathrm{C} é \,V_0, sua massa é
m=\rho_0 V_0.
Agora aplicamos isso às duas porções:
  • A porção A tem volume \,V_{1} a 0^\circ\mathrm{C}. Logo o seu volume de referência é \,V_{0,1}=V_1 e sua massa é
m_1=\rho_0 V_1.
  • A porção B tem volume \,V_{2} à temperatura \,t. Queremos saber qual seria o volume dela a 0^\circ\mathrm{C}: chamamos isso de \,V_{0,2}. Pela fórmula de dilatação,
V_{2}=V_{0,2}\,(1+\gamma t),
portanto
V_{0,2}=\frac{V_{2}}{1+\gamma t}.
A massa da porção B é então
m_2=\rho_0 V_{0,2}=\rho_0\frac{V_2}{1+\gamma t}.

Passo 4

Conservação da energia para o processo adiabático de mistura (assumimos recipientes isolados entre si e sem perda de calor para o ambiente): a soma das variações de energia térmica é zero. Como o líquido é o mesmo, o calor específico por massa \,c\, é o mesmo para ambas. A equação de equilíbrio térmico é:
m_1 c(\theta-0)+m_2 c(\theta-t)=0.
Expliquei: o primeiro termo é o calor ganho (ou perdido) pela porção A ao ir de 0 a \theta; o segundo é o calor ganho (ou perdido) pela porção B ao ir de t a \theta. O somatório é zero porque o conjunto é isolado. Podemos simplificar cancelando c (não nulo) e resolver para \theta:
m_1 \theta + m_2(\theta-t)=0 \quad\Rightarrow\quad (m_1+m_2)\theta = m_2 t.
Logo
\theta=\frac{m_2 t}{m_1+m_2}.

Passo 5

Substituímos as expressões de m_1 e m_2 em termos dos volumes de referência (obtidos no Passo 3). Lembrete:
m_1=\rho_0 V_1,\qquad m_2=\rho_0\frac{V_2}{1+\gamma t}.
Ao colocar essas na fórmula de \theta os \rho_0 cancelam:
\theta=\frac{\displaystyle \rho_0\frac{V_2}{1+\gamma t}\;t}{\displaystyle \rho_0\Bigl(V_1+\frac{V_2}{1+\gamma t}\Bigr)} =\frac{\displaystyle \frac{V_2}{1+\gamma t}\;t}{\displaystyle V_1+\frac{V_2}{1+\gamma t}}.

Passo 6

Agora vamos calcular o volume total final. Primeiro note que o volume total à temperatura de referência 0^\circ\mathrm{C} (isto é, somando os volumes a 0^\circ\mathrm{C} das duas massas) é
V_{0,\text{total}}=V_{0,1}+V_{0,2}=V_1+\frac{V_2}{1+\gamma t}.
Quando a mistura atinge a temperatura final \theta, o volume total final é esse volume de referência multiplicado por (1+\gamma\theta):
V_f = V_{0,\text{total}}\,(1+\gamma\theta) =\Bigl(V_1+\frac{V_2}{1+\gamma t}\Bigr)(1+\gamma\theta).

Passo 7

Substituímos o valor de \theta calculado no Passo 5 na expressão de 1+\gamma\theta e simplificamos cuidadosamente. Primeiro calcule 1+\gamma\theta:
1+\gamma\theta =1+\gamma\cdot\frac{\dfrac{V_2}{1+\gamma t}\;t}{\;V_1+\dfrac{V_2}{1+\gamma t}\;} =\frac{V_1(1+\gamma t)+V_2+\gamma t V_2}{V_1(1+\gamma t)+V_2}.
No numerador juntei termos e observei V_2+\gamma t V_2=V_2(1+\gamma t), logo
1+\gamma\theta=\frac{(1+\gamma t)(V_1+V_2)}{V_1(1+\gamma t)+V_2}.

Passo 8

Agora volte a V_f e use a forma conveniente de V_{0,\text{total}}:
V_{0,\text{total}}=V_1+\frac{V_2}{1+\gamma t}=\frac{V_1(1+\gamma t)+V_2}{1+\gamma t}.
Multiplicando com 1+\gamma\theta do Passo 7:
V_f=\frac{V_1(1+\gamma t)+V_2}{1+\gamma t}\cdot\frac{(1+\gamma t)(V_1+V_2)}{V_1(1+\gamma t)+V_2}.
Perceba que \;V_1(1+\gamma t)+V_2\; aparece tanto no numerador quanto no denominador e que (1+\gamma t) também cancela. Após essas cancelasções sobra simplesmente
V_f=V_1+V_2.

Passo 9

Conclusão física curta e intuitiva: apesar das dilatações térmicas e da troca de calor entre as porções, a combinação das relações de massa, densidade e energia faz com que, no final, o volume final da mistura seja exatamente a soma dos volumes medidos nas condições iniciais dadas ( V_1 a 0^\circ\mathrm{C} e V_2 a t). Isso acontece porque a variação de densidade com temperatura e a forma como a temperatura de equilíbrio é calculada fazem com que os fatores dependentes de \gamma e c se cancelem.

Resposta

V_{1}+V_{2}

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