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Em um exercício obtém-se dois resultados x e y com ordem de grandezas diferentes. Porém, os erros absolutos referentes às operações para se chegar aos resultados x e y são os mesmos. Sendo assim:
a) Podemos dizer que ambos os resultados x e y estão representados com a mesma precisão?
b) Explique a resposta do item a?
c) Forneça um exemplo numérico.
Em um exercício obtém-se dois resultados x e y com ordem de grandezas diferentes. Porém, os erros absolutos referentes às operações para se chegar aos resultados x e y são os mesmos. Sendo assim:
a) Podemos dizer que ambos os resultados x e y estão representados com a mesma precisão?
b) Explique a resposta do item a?
c) Forneça um exemplo numérico.
Passo 1
O enunciado diz que foram obtidos dois resultados com ordens de grandeza diferentes, chamemos esses resultados de
e
. Diz também que os erros absolutos referentes às operações que levaram a
e a
são os mesmos. O que se pede:
a) Dizer se ambos os resultados e
estão representados com a mesma precisão.
b) Explicar a resposta do item (a).
c) Fornecer um exemplo numérico.
a) Dizer se ambos os resultados
b) Explicar a resposta do item (a).
c) Fornecer um exemplo numérico.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
- Existe uma mesma incerteza/erro absoluto comum, chamemos de
. Assim . - Os valores numéricos de
e têm ordens de grandeza diferentes (por exemplo, pode ser da ordem de unidades e da ordem de centenas).
Passo 2
Definição e entendimento do que é erro absoluto. O erro absoluto de uma medida é a diferença máxima esperada entre o valor medido e o valor verdadeiro. Se a medida é
e o erro absoluto é
, isso significa que o valor verdadeiro está em torno de
Aqui temos
por hipótese do enunciado. É importante: o erro absoluto tem as mesmas unidades que a grandeza medida.
Passo 3
Definição do que normalmente se entende por precisão numa medição. Há duas formas comuns de comparar “quão boa” é uma medida:
- erro absoluto (já visto), que diz o desvio em unidades físicas;
- erro relativo (ou erro percentual), que compara o erro absoluto com o tamanho da própria medida. O erro relativo para
é definido por
e para
O erro relativo é adimensional e costuma ser usado para avaliar a precisão prática: quanto menor
, mais precisa (em termos relativos) é a medida. Portanto, quando alguém diz que uma medida é «mais precisa», geralmente está se referindo a um erro relativo menor (ou a um maior número de dígitos significativos).
Passo 4
Consequência lógica para o enunciado. Como
e
e
têm ordens de grandeza diferentes, as razões
e
serão diferentes. Em particular, se
então
Isso mostra que, embora o erro absoluto seja o mesmo, o erro relativo (o critério mais usado para julgar precisão) é diferente. Logo, em geral não podemos dizer que as duas medidas têm a mesma precisão.
Passo 5
Explicando de forma leiga e com empatia: imagine que você erra
real numa medição. Se o valor verdadeiro for
reais, esse erro é enorme (50% de incerteza). Se o valor verdadeiro for
reais, esse mesmo erro de
real é desprezível (0,05%). Portanto, o mesmo erro absoluto pode ser negligenciável para uma grandeza grande e catastrófico para uma grandeza pequena. É por isso que usamos erro relativo para comparar precisão entre quantidades de ordens diferentes.
Passo 6
Regra prática para dígitos significativos (apenas como indicação): o número de dígitos significativos corretos cresce quando o erro relativo diminui. Uma forma aproximada de relacionar erro relativo
e número de dígitos confiáveis
é
Isto dá apenas uma estimativa aproximada, mas ajuda a ver que
menor implica mais dígitos confiáveis.
Passo 7
Exemplo numérico pedido (c). Vou escolher um exemplo simples e fácil de calcular sem calculadora. Pegue
Aqui peguei
da hipótese do enunciado (mesmo erro absoluto para ambos) e valores
e
com ordens de grandeza diferentes (aproximadamente dois ordens de magnitude entre eles). Calculemos os erros relativos:
Para
:
Podemos escrever aproximadamente
Em percentual isso é aproximadamente
Para
:
Escrevendo em notação aproximada:
Em percentual isso é aproximadamente
Comparando:
e
. O erro relativo de
é cerca de 100 vezes menor que o de
. Portanto
é muito mais preciso (em termos relativos) do que
, embora ambos tenham o mesmo erro absoluto
.
Passo 8
Interpretação final e resposta consolidada:
- (a) Não: não podemos dizer que
e têm a mesma precisão quando só sabemos que seus erros absolutos são iguais e as ordens de grandeza são diferentes. - (b) Porque a precisão prática é avaliada pelo erro relativo (ou número de dígitos significativos). Com o mesmo erro absoluto, a medida de maior magnitude terá menor erro relativo e, portanto, maior precisão relativa.
- (c) Exemplo numérico já apresentado:
, , . Resultados: ( ) e ( ). Assim é muito mais preciso que .
Resposta
(a) Não.
(b) Porque a precisão é melhor avaliada pelo erro relativo : com o mesmo erro absoluto
e ordens de grandeza diferentes, os erros relativos serão diferentes, e o valor de maior magnitude terá menor erro relativo (maior precisão).
(c) Exemplo: ,
,
. Então
(
) e
(
);
é muito mais preciso.
(b) Porque a precisão é melhor avaliada pelo erro relativo
(c) Exemplo: