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Em um exercício obtém-se dois resultados x e y com ordem de grandezas diferentes. Porém, os erros absolutos referentes às operações para se chegar aos resultados x e y são os mesmos. Sendo assim:
a) Podemos dizer que ambos os resultados x e y estão representados com a mesma precisão?
b) Explique a resposta do item a?
c) Forneça um exemplo numérico.

Passo 1

O enunciado diz que foram obtidos dois resultados com ordens de grandeza diferentes, chamemos esses resultados de x e y. Diz também que os erros absolutos referentes às operações que levaram a x e a y são os mesmos. O que se pede:
a) Dizer se ambos os resultados x e y estão representados com a mesma precisão.
b) Explicar a resposta do item (a).
c) Fornecer um exemplo numérico.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar:
  • Existe uma mesma incerteza/erro absoluto comum, chamemos de \Delta. Assim \Delta x=\Delta y=\Delta.
  • Os valores numéricos de x e y têm ordens de grandeza diferentes (por exemplo, x pode ser da ordem de unidades e y da ordem de centenas).

Passo 2

Definição e entendimento do que é erro absoluto. O erro absoluto de uma medida é a diferença máxima esperada entre o valor medido e o valor verdadeiro. Se a medida é x e o erro absoluto é \Delta x, isso significa que o valor verdadeiro está em torno de
x\pm\Delta x.
Aqui temos \Delta x=\Delta y=\Delta por hipótese do enunciado. É importante: o erro absoluto tem as mesmas unidades que a grandeza medida.

Passo 3

Definição do que normalmente se entende por precisão numa medição. Há duas formas comuns de comparar “quão boa” é uma medida:
  • erro absoluto (já visto), que diz o desvio em unidades físicas;
  • erro relativo (ou erro percentual), que compara o erro absoluto com o tamanho da própria medida. O erro relativo para x é definido por
\delta x=\frac{\Delta x}{|x|},
e para y
\delta y=\frac{\Delta y}{|y|}.
O erro relativo é adimensional e costuma ser usado para avaliar a precisão prática: quanto menor \delta, mais precisa (em termos relativos) é a medida. Portanto, quando alguém diz que uma medida é «mais precisa», geralmente está se referindo a um erro relativo menor (ou a um maior número de dígitos significativos).

Passo 4

Consequência lógica para o enunciado. Como \Delta x=\Delta y=\Delta e x e y têm ordens de grandeza diferentes, as razões \dfrac{\Delta}{|x|} e \dfrac{\Delta}{|y|} serão diferentes. Em particular, se |y|\gg|x| então
\delta y=\frac{\Delta}{|y|}\ll\frac{\Delta}{|x|}=\delta x.
Isso mostra que, embora o erro absoluto seja o mesmo, o erro relativo (o critério mais usado para julgar precisão) é diferente. Logo, em geral não podemos dizer que as duas medidas têm a mesma precisão.

Passo 5

Explicando de forma leiga e com empatia: imagine que você erra \pm 1 real numa medição. Se o valor verdadeiro for 2 reais, esse erro é enorme (50% de incerteza). Se o valor verdadeiro for 2\,000 reais, esse mesmo erro de \pm 1 real é desprezível (0,05%). Portanto, o mesmo erro absoluto pode ser negligenciável para uma grandeza grande e catastrófico para uma grandeza pequena. É por isso que usamos erro relativo para comparar precisão entre quantidades de ordens diferentes.

Passo 6

Regra prática para dígitos significativos (apenas como indicação): o número de dígitos significativos corretos cresce quando o erro relativo diminui. Uma forma aproximada de relacionar erro relativo \delta e número de dígitos confiáveis n é
n\approx -\log_{10}(\delta).
Isto dá apenas uma estimativa aproximada, mas ajuda a ver que \delta menor implica mais dígitos confiáveis.

Passo 7

Exemplo numérico pedido (c). Vou escolher um exemplo simples e fácil de calcular sem calculadora. Pegue
x=1,23,\qquad y=123,\qquad \Delta=0,01.
Aqui peguei \Delta da hipótese do enunciado (mesmo erro absoluto para ambos) e valores x e y com ordens de grandeza diferentes (aproximadamente dois ordens de magnitude entre eles). Calculemos os erros relativos:
Para x:
\delta x=\frac{\Delta}{|x|}=\frac{0,01}{1,23}.
Podemos escrever aproximadamente
\frac{0,01}{1,23}\approx 0,00813.
Em percentual isso é aproximadamente
0,00813\approx 0,813\%.
Para y:
\delta y=\frac{\Delta}{|y|}=\frac{0,01}{123}.
Escrevendo em notação aproximada:
\frac{0,01}{123}\approx 0,0000813.
Em percentual isso é aproximadamente
0,0000813\approx 0,00813\%.
Comparando: \delta x\approx 0,813\% e \delta y\approx 0,00813\%. O erro relativo de y é cerca de 100 vezes menor que o de x. Portanto y é muito mais preciso (em termos relativos) do que x, embora ambos tenham o mesmo erro absoluto \Delta=0,01.

Passo 8

Interpretação final e resposta consolidada:
  • (a) Não: não podemos dizer que x e y têm a mesma precisão quando só sabemos que seus erros absolutos são iguais e as ordens de grandeza são diferentes.
  • (b) Porque a precisão prática é avaliada pelo erro relativo (ou número de dígitos significativos). Com o mesmo erro absoluto, a medida de maior magnitude terá menor erro relativo e, portanto, maior precisão relativa.
  • (c) Exemplo numérico já apresentado: x=1,23, y=123, \Delta=0,01. Resultados: \delta x\approx0,00813 ( \approx0,813\%) e \delta y\approx0,0000813 ( \approx0,00813\%). Assim y é muito mais preciso que x.

Resposta

(a) Não.
(b) Porque a precisão é melhor avaliada pelo erro relativo \delta=\dfrac{\Delta}{|\,\text{valor}\,|}: com o mesmo erro absoluto \Delta e ordens de grandeza diferentes, os erros relativos serão diferentes, e o valor de maior magnitude terá menor erro relativo (maior precisão).
(c) Exemplo: x=1,23, y=123, \Delta=0,01. Então \delta x=\dfrac{0,01}{1,23}\approx0,00813 ( \approx0,813\%) e \delta y=\dfrac{0,01}{123}\approx0,0000813 ( \approx0,00813\%); y é muito mais preciso.

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