4 Determine o valor aproximado para \sqrt{7}, com erro inferior a 10^{-1} utilizando o método da Bissecção

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:
  • Pede-se um valor aproximado para \sqrt{7} com erro inferior a \,10^{-1}.
  • Vou transformar o problema em achar a raiz positiva da função contínua
f(x)=x^{2}-7,
porque \sqrt{7} é a solução positiva de f(x)=0.
  • Para aplicar o método da bissecção preciso de um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Observando números inteiros próximos:
f(2)=2^{2}-7=-3<0, \qquad f(3)=3^{2}-7=2>0.
Logo posso escolher o intervalo inicial [a,b]=[2,3].
O objetivo concreto: usar bissecção em [2,3] até obter uma aproximação de \sqrt{7} com erro absoluto menor que \,10^{-1}.

Passo 2

Explicando passo a passo o método da bissecção (como se eu estivesse te explicando numa prova):
  • Ideia básica: se f é contínua e f(a)\,f(b)<0, então existe pelo menos uma raiz r em (a,b). O método corta o intervalo ao meio repetidamente, escolhendo sempre o subintervalo onde f muda de sinal; assim o intervalo que contém a raiz fica cada vez menor.
  • Em cada iteração:
    1. calcula-se o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2};
    2. computa-se f(m);
    3. se f(m)=0 (caso raro) terminou-se com raiz exata; senão, escolhe-se o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde f muda de sinal.
  • Garantia de erro: se o intervalo inicial tem comprimento L_{0}=b-a, então depois de n halving (n cortes) o intervalo que contém a raiz tem comprimento
L_{n}=\frac{L_{0}}{2^{n}}.
Se escolhermos como aproximação o ponto médio do intervalo final, a distância entre essa aproximação e a raiz é, no máximo, metade do comprimento do intervalo final:
\text{erro máximo} \le \frac{L_{n}}{2}=\frac{b-a}{2^{n+1}}.á
Portanto, para garantir erro menor que uma tolerância \varepsilon basta escolher n tal que
\frac{b-a}{2^{n+1}}<\varepsilon.

Passo 3

Aplicando a fórmula do erro ao nosso caso:
  • Temos b-a=3-2=1 e \varepsilon=10^{-1}. Exigimos
\frac{1}{2^{n+1}}<10^{-1}.
  • Isso significa
2^{n+1}>10.
Verificando potências de 2:
2^{3}=8<10,\qquad 2^{4}=16>10.
Logo é suficiente ter n+1=4, isto é n=3 iterações. Em outras palavras, após 3 cortes teremos um intervalo cujo ponto médio garante erro inferior a \,10^{-1}.

Passo 4

Agora executo as iterações (faço as contas de forma bem clara para você conseguir reproduzir na prova):
Intervalo inicial: [a_{0},b_{0}]=[2,3].
Iteração 1:
  • m_{1}=\frac{2+3}{2}=2,5.
  • Calculo f(m_{1}):
f(2,5)=2,5^{2}-7=6,25-7=-0,75<0.
  • Como f(2,5)<0 e f(3)>0, a raiz está em [2,5,\,3]. Ou seja escolho
[a_{1},b_{1}]=[2,5,\,3].
Iteração 2:
  • m_{2}=\frac{2,5+3}{2}=2,75.
  • Calculo f(m_{2}):
f(2,75)=2,75^{2}-7=7,5625-7=0,5625>0.
  • Como f(2,5)<0 e f(2,75)>0, a raiz está em [2,5,\,2,75]. Ou seja
[a_{2},b_{2}]=[2,5,\,2,75].
Iteração 3:
  • m_{3}=\frac{2,5+2,75}{2}=2,625.
  • Calculo f(m_{3}):
f(2,625)=2,625^{2}-7=6,890625-7=-0,109375<0.
  • Como f(2,625)<0 e f(2,75)>0, a raiz está em [2,625,\,2,75]. Ou seja
[a_{3},b_{3}]=[2,625,\,2,75].

Passo 5

Agora verifico o comprimento do intervalo final e calculo a aproximação:
  • Comprimento do intervalo após 3 iterações:
L_{3}=b_{3}-a_{3}=2,75-2,625=0,125.
  • Se eu escolher como aproximação o ponto médio do intervalo final, obtenho
\tilde{x}=\frac{2,625+2,75}{2}=2,6875.
  • O erro máximo garantido é
\frac{L_{3}}{2}=\frac{0,125}{2}=0,0625<0,1,
portanto a aproximação \tilde{x}=2,6875 tem erro absoluto inferior a \,10^{-1}, como exigido.

Resposta

2,6875

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