4 Determine o valor aproximado para
, com erro inferior a
utilizando o método da Bissecção
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:
- Pede-se um valor aproximado para
com erro inferior a . - Vou transformar o problema em achar a raiz positiva da função contínua
porque
é a solução positiva de
.
- Para aplicar o método da bissecção preciso de um intervalo
tal que e tenham sinais opostos. Observando números inteiros próximos:
Logo posso escolher o intervalo inicial
.
O objetivo concreto: usar bissecção em
até obter uma aproximação de
com erro absoluto menor que
.
Passo 2
Explicando passo a passo o método da bissecção (como se eu estivesse te explicando numa prova):
- Ideia básica: se
é contínua e , então existe pelo menos uma raiz em . O método corta o intervalo ao meio repetidamente, escolhendo sempre o subintervalo onde muda de sinal; assim o intervalo que contém a raiz fica cada vez menor. - Em cada iteração:
- calcula-se o ponto médio
; - computa-se
; - se
(caso raro) terminou-se com raiz exata; senão, escolhe-se o subintervalo ou onde muda de sinal.
- calcula-se o ponto médio
- Garantia de erro: se o intervalo inicial tem comprimento
, então depois de halving (n cortes) o intervalo que contém a raiz tem comprimento
Se escolhermos como aproximação o ponto médio do intervalo final, a distância entre essa aproximação e a raiz é, no máximo, metade do comprimento do intervalo final:
Portanto, para garantir erro menor que uma tolerância
basta escolher
tal que
Passo 3
Aplicando a fórmula do erro ao nosso caso:
- Temos
e . Exigimos
- Isso significa
Verificando potências de
:
Logo é suficiente ter
, isto é
iterações. Em outras palavras, após
cortes teremos um intervalo cujo ponto médio garante erro inferior a
.
Passo 4
Agora executo as iterações (faço as contas de forma bem clara para você conseguir reproduzir na prova):
Intervalo inicial:
.
Iteração 1:
-
- Calculo
:
- Como
e , a raiz está em . Ou seja escolho
Iteração 2:
-
- Calculo
:
- Como
e , a raiz está em . Ou seja
Iteração 3:
-
- Calculo
:
- Como
e , a raiz está em . Ou seja
Passo 5
Agora verifico o comprimento do intervalo final e calculo a aproximação:
- Comprimento do intervalo após
iterações:
- Se eu escolher como aproximação o ponto médio do intervalo final, obtenho
- O erro máximo garantido é
portanto a aproximação
tem erro absoluto inferior a
, como exigido.