06 Mostre que
b) Se
, onde
é um número real, então mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- Mostrar que
- Mostrar que, para
com ,
Informações dadas (implícitas no enunciado) que vamos usar:
- As funções
, e são infinitamente diferenciáveis. - Podemos usar a fórmula de Taylor (Maclaurin) com resto na forma de Lagrange e a série de
para .
Passo 2
Apresento a ferramenta principal: a série de Taylor centrada em zero (Maclaurin). Se
é
numa vizinhança de
, então para todo
onde a forma de Lagrange do resto é
para algum
entre
e
. Uma consequência útil: se existir uma constante
tal que
para
entre
e
, então
Vamos aplicar isso a
e
. A ideia é calcular as derivadas em
, escrever a série formal e depois mostrar que o resto tende a zero usando a estimativa acima (para garantir igualdade com a soma da série infinita).
Passo 3
Derivadas de
e valores em
.
Calcule a sequência de derivadas de
:
e o padrão se repete a cada
derivadas. Avaliando em
:
Logo, para
:
Agora usamos a fórmula de Maclaurin: os termos com derivadas de ordem par são zero, e os termos ímpares dão
Estimativa do resto: a derivada de ordem
de
é
ou
, todas com valor absoluto
. Então podemos tomar
na desigualdade do resto e obter
Como
cresce muito mais rápido que
quando
, o quociente tende a
. Portanto
quando
, e concluímos que a série infinita converge para
. Assim
Passo 4
Derivadas de
e valor em
.
Calcule a sequência de derivadas de
:
também com repetição a cada
derivadas. Avaliando em
:
Assim, para
:
Aplicando Maclaurin:
Estimativa do resto: a derivada de ordem
de
também tem valor absoluto
, então
Portanto a série infinita converge para
e obtemos
Passo 5
Prova de
.
Começo pela série de
válida para todo
:
(Convergência para todo
pode ser verificada pelo critério da razão, mas isso é padrão.)
Substituindo
(com
):
Separe os termos pares e ímpares:
Nos passos anteriores já mostramos que as séries que aparecem são exatamente
e
. Portanto
Passo 6
Resumo e encorajamento: mostramos as séries de Maclaurin para
e
calculando derivadas em
e usando a estimativa do resto de Lagrange para garantir que a série infinita converge para a função. Em seguida usamos a expansão de
para
e separamos parte real e imaginária para obter a fórmula de Euler. Tá feito — esse é um resultado clássico e superútil na prova; lembra de guardar a ideia principal: derivadas em 0 dão os coeficientes, resto controlado por
garante convergência.