06 Mostre que
\begin{gathered} \operatorname{sen}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots \\\ \cos (x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots \end{gathered}
b) Se x=i \theta, onde \theta é um número real, então mostre que e^{i \theta}=\cos \theta+i \operatorname{sen} \theta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Mostrar que
\operatorname{sen}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} \qquad\text{e}\qquad \cos(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}.
  • Mostrar que, para x=i\theta com \theta\in\mathbb{R},
e^{i\theta}=\cos\theta+i\,\operatorname{sen}\theta.
Informações dadas (implícitas no enunciado) que vamos usar:
  • As funções \sin x, \cos x e e^{x} são infinitamente diferenciáveis.
  • Podemos usar a fórmula de Taylor (Maclaurin) com resto na forma de Lagrange e a série de e^{z} para z\in\mathbb{C}.

Passo 2

Apresento a ferramenta principal: a série de Taylor centrada em zero (Maclaurin). Se f é C^{\infty} numa vizinhança de 0, então para todo n\ge0
f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}+R_{n}(x),
onde a forma de Lagrange do resto é
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}
para algum \xi entre 0 e x. Uma consequência útil: se existir uma constante M tal que |f^{(n+1)}(t)|\le M para t entre 0 e x, então
|R_{n}(x)|\le\frac{M|x|^{n+1}}{(n+1)!}.
Vamos aplicar isso a \sin x e \cos x. A ideia é calcular as derivadas em 0, escrever a série formal e depois mostrar que o resto tende a zero usando a estimativa acima (para garantir igualdade com a soma da série infinita).

Passo 3

Derivadas de \sin x e valores em 0.
Calcule a sequência de derivadas de f(x)=\sin x:
\begin{aligned} f(x)&=\sin x,\\\ f'(x)&=\cos x,\\\ f''(x)&=-\sin x,\\\ f^{(3)}(x)&=-\cos x,\\\ f^{(4)}(x)&=\sin x, \end{aligned}
e o padrão se repete a cada 4 derivadas. Avaliando em x=0:
\sin 0=0,\qquad \cos 0=1.
Logo, para n\ge0:
f^{(2n)}(0)=0,\qquad f^{(2n+1)}(0)=(-1)^{n}.
Agora usamos a fórmula de Maclaurin: os termos com derivadas de ordem par são zero, e os termos ímpares dão
\sin x=\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(2n+1)}(0)}{(2n+1)!}x^{2n+1}+R_{2N+1}(x) =\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_{2N+1}(x).
Estimativa do resto: a derivada de ordem 2N+2 de \sin é \pm\sin ou \pm\cos, todas com valor absoluto \le 1. Então podemos tomar M=1 na desigualdade do resto e obter
|R_{2N+1}(x)|\le\frac{|x|^{2N+3}}{(2N+3)!}.
Como (2N+3)! cresce muito mais rápido que |x|^{2N+3} quando N\to\infty, o quociente tende a 0. Portanto R_{2N+1}(x)\to0 quando N\to\infty, e concluímos que a série infinita converge para \sin x. Assim
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots.

Passo 4

Derivadas de \cos x e valor em 0.
Calcule a sequência de derivadas de g(x)=\cos x:
\begin{aligned} g(x)&=\cos x,\\\ g'(x)&=-\sin x,\\\ g''(x)&=-\cos x,\\\ g^{(3)}(x)&=\sin x,\\\ g^{(4)}(x)&=\cos x, \end{aligned}
também com repetição a cada 4 derivadas. Avaliando em 0:
\cos 0=1,\qquad \sin 0=0.
Assim, para n\ge0:
g^{(2n+1)}(0)=0,\qquad g^{(2n)}(0)=(-1)^{n}.
Aplicando Maclaurin:
\cos x=\sum_{n=0}^{N}\frac{g^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}+R_{2N}(x) =\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}+R_{2N}(x).
Estimativa do resto: a derivada de ordem 2N+1 de \cos também tem valor absoluto \le1, então
|R_{2N}(x)|\le\frac{|x|^{2N+1}}{(2N+1)!}\to0\quad\text{quando }N\to\infty.
Portanto a série infinita converge para \cos x e obtemos
\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots.

Passo 5

Prova de e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.
Começo pela série de e^{z} válida para todo z\in\mathbb{C}:
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
(Convergência para todo z pode ser verificada pelo critério da razão, mas isso é padrão.)
Substituindo z=i\theta (com \theta\in\mathbb{R}):
e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{n}\theta^{n}}{n!}.
Separe os termos pares e ímpares:
\begin{aligned} e^{i\theta} &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{2n}\theta^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{i^{2n+1}\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}\\[4pt] &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\theta^{2n}}{(2n)!} +i\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\theta^{2n+1}}{(2n+1)!}. \end{aligned}
Nos passos anteriores já mostramos que as séries que aparecem são exatamente \cos\theta e \sin\theta. Portanto
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.]

Passo 6

Resumo e encorajamento: mostramos as séries de Maclaurin para \sin x e \cos x calculando derivadas em 0 e usando a estimativa do resto de Lagrange para garantir que a série infinita converge para a função. Em seguida usamos a expansão de e^{z} para z=i\theta e separamos parte real e imaginária para obter a fórmula de Euler. Tá feito — esse é um resultado clássico e superútil na prova; lembra de guardar a ideia principal: derivadas em 0 dão os coeficientes, resto controlado por \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!} garante convergência.

Resposta

\displaystyle \operatorname{sen}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdots
\displaystyle \cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots
\displaystyle e^{i\theta}=\cos\theta+i\,\operatorname{sen}\theta

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