03 Mostre que a série de potências f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3 x^{n}}{n!} satisfaz a equação f^{\prime \prime \prime}(x)-f(x)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3x^{n}}{n!}.
O que pede: mostrar que a função f definida por essa série satisfaz a equação diferencial
f^{\prime\prime\prime}(x)-f(x)=0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A série é \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{3x^{n}}{n!}.
  • Precisa-se relacionar derivadas de f com a própria f.

Passo 2

Verificar a convergência da série (raio de convergência) para garantir que podemos diferenciá-la termo a termo. Use o teste da razão para os termos gerais a_n(x)=\dfrac{3x^{n}}{n!}. Calcule a razão
\left|\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)}\right| = \left|\frac{3x^{n+1}/(n+1)!}{3x^{n}/n!}\right| = \frac{|x|}{n+1}.
Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}=0.
Como esse limite é 0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge para todo x (raio de convergência infinito). Isso nos permite usar o fato padrão: uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo dentro do seu raio de convergência.

Passo 3

Recordando a regra de diferenciação termo a termo: se
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n
tem raio de convergência positivo (aqui infinito), então
g'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n b_n x^{n-1},
e essa operação pode ser repetida quantas vezes quisermos dentro do raio. Vou aplicar essa regra à nossa série com calma, explicando cada passo.

Passo 4

Calcular f'(x) termo a termo. Partimos de
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3x^{n}}{n!}.
Derivando termo a termo:
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3\cdot n\;x^{n-1}}{n!}.
Agora simplifico o fator \dfrac{n}{n!}. Lembre que n!=n\cdot(n-1)!, portanto
\frac{n}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}.
Assim
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3x^{n-1}}{(n-1)!}.
Faço a mudança de índice m=n-1. Quando n=1 temos m=0, e quando n\to\infty temos m\to\infty. Logo
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{3x^{m}}{m!}.
Note que essa soma é exatamente a mesma forma da soma original; escrevo de volta com n por simplicidade:
f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3x^{n}}{n!}=f(x).

Passo 5

A partir do resultado do passo anterior f'(x)=f(x), conclui-se imediatamente que todas as derivadas superiores também são iguais a f. Mas vamos mostrar isso explicitamente por aprendizado: derive novamente para obter f''.
Como f'(x)=f(x), então
f''(x)=\bigl(f'(x)\bigr)'=\bigl(f(x)\bigr)'=f'(x)=f(x).
Ou, fazendo termo a termo como antes:
f''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{3\cdot n(n-1)\;x^{n-2}}{n!} = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{3x^{n-2}}{(n-2)!} = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{3x^{m}}{m!}=f(x).

Passo 6

Agora calcule f^{\prime\prime\prime}(x). Usando o mesmo raciocínio:
f^{\prime\prime\prime}(x)=\bigl(f''(x)\bigr)'=\bigl(f(x)\bigr)'=f'(x)=f(x).
Ou, termo a termo:
f^{\prime\prime\prime}(x)=\sum_{n=3}^{\infty}\frac{3\cdot n(n-1)(n-2)\;x^{n-3}}{n!} = \sum_{n=3}^{\infty}\frac{3x^{n-3}}{(n-3)!} = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{3x^{m}}{m!}=f(x).
Aqui usei a identidade n(n-1)(n-2)/n!=1/(n-3)!, que vem da definição de fatorial n!=(n)(n-1)(n-2)(n-3)!.
Se quiser um exemplo numérico para fixar: pegue n=5 e k=3. Então
\frac{n(n-1)(n-2)}{n!}=\frac{5\cdot4\cdot3}{5!}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}=\frac{1}{(5-3)!}=\frac{1}{2!},
o que ilustra a simplificação.

Passo 7

Como f^{\prime\prime\prime}(x)=f(x), subtraindo f(x) de ambos os lados obtemos
f^{\prime\prime\prime}(x)-f(x)=0,
que é exatamente o que o enunciado pedia para mostrar.

Resposta

f^{\prime\prime\prime}(x)-f(x)=0

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