03 Mostre que a série de potências f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{3 x^{n}}{n!} satisfaz a equação f^{\prime \prime \prime}(x)-f(x)=0.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{3x^{n}}{n!}.
O que pede: mostrar que a função f definida por essa série satisfaz a equação diferencial
f^{\prime\prime\prime}(x)-f(x)=0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
A série é \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{3x^{n}}{n!}.
Precisa-se relacionar derivadas de f com a própria f.
Passo 2
Verificar a convergência da série (raio de convergência) para garantir que podemos diferenciá-la termo a termo. Use o teste da razão para os termos gerais a_n(x)=\dfrac{3x^{n}}{n!}. Calcule a razão
Como esse limite é 0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge para todo x (raio de convergência infinito). Isso nos permite usar o fato padrão: uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo dentro do seu raio de convergência.
Passo 3
Recordando a regra de diferenciação termo a termo: se
g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n
tem raio de convergência positivo (aqui infinito), então
g'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n b_n x^{n-1},
e essa operação pode ser repetida quantas vezes quisermos dentro do raio. Vou aplicar essa regra à nossa série com calma, explicando cada passo.
Agora simplifico o fator \dfrac{n}{n!}. Lembre que n!=n\cdot(n-1)!, portanto
\frac{n}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}.
Assim
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3x^{n-1}}{(n-1)!}.
Faço a mudança de índice m=n-1. Quando n=1 temos m=0, e quando n\to\infty temos m\to\infty. Logo
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{3x^{m}}{m!}.
Note que essa soma é exatamente a mesma forma da soma original; escrevo de volta com n por simplicidade:
f'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3x^{n}}{n!}=f(x).
Passo 5
A partir do resultado do passo anterior f'(x)=f(x), conclui-se imediatamente que todas as derivadas superiores também são iguais a f. Mas vamos mostrar isso explicitamente por aprendizado: derive novamente para obter f''.