Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da integral
\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-5 n}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-5n} é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma quando possível.
Informações dadas:
  • Os termos da série são a_n = e^{-5n} para n=1,2,3,\dots.
  • Foi indicado usar o “Teste da integral” (portanto aplicaremos esse teste para decidir convergência).
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Apresento o enunciado do Teste da Integral e o que é preciso checar.
Teorema (Teste da Integral, versão prática):
Se f(x) é uma função contínua, positiva e decrescente em [1,+\infty) e a_n=f(n), então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge.
Explicando cada condição:
  • Contínua: sem “saltos” no intervalo.
  • Positiva: f(x)>0 para x\ge1.
  • Decrescente: f'(x)\le0 para x\ge1.
    Essas condições garantem que somas parciais e a integral têm comportamento comparável.

Passo 3

Aplicação do teste ao nosso caso: escolha f(x)=e^{-5x}.
Verificações:
  • Continuidade: f(x)=e^{-5x} é exponencial, contínua para todo x.
  • Positividade: e^{-5x}>0 para todo x.
  • Monotonicidade: calcule a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{-5x}=-5e^{-5x}.
Como -5e^{-5x}<0 para todo x, f é decrescente em [1,\infty).
Portanto as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 4

Calcular a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} e^{-5x}\,dx.
Procedimento:
\int e^{-5x}\,dx = -\frac{1}{5}e^{-5x} + C.
Agora avaliar o limite impróprio:
\int_{1}^{\infty} e^{-5x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b} e^{-5x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{5}e^{-5x}\right)\Big|_{x=1}^{x=b}.
Isso dá
\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{5}e^{-5b} + \frac{1}{5}e^{-5}\right).
Como \lim_{b\to\infty} e^{-5b}=0, o valor da integral é
\int_{1}^{\infty} e^{-5x}\,dx = \frac{1}{5}e^{-5}.
Como essa integral é finita, pelo Teste da Integral a série \sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n} é convergente.

Passo 5

Agora calcular a soma explicitamente (a série é do tipo que permite soma fechada).
Observação: \sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n} é uma série geométrica com termo geral a_n = a\,r^{\,n-1} se reescrevermos; mais diretamente, tem primeiro termo a=e^{-5} (para n=1) e razão r=e^{-5} (porque a_{n+1}/a_n = e^{-5}). Recordando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: se |r|<1 então
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}.
No nosso caso a série começa em n=1, então escrevemos
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n} = \sum_{n=0}^{\infty} e^{-5(n+1)} = e^{-5}\sum_{n=0}^{\infty} (e^{-5})^{n}.
Aqui r=e^{-5} satisfaz |r|<1 pois 0<e^{-5}<1. Assim a soma é
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n} = e^{-5}\cdot\frac{1}{1-e^{-5}} = \frac{e^{-5}}{1-e^{-5}}.

Passo 6

Interpretação final e comentário rápido para a prova:
  • Pelo Teste da Integral a série converge porque a função contínua, positiva e decrescente f(x)=e^{-5x} tem integral finita em [1,\infty).
  • Como é uma série geométrica com razão |r|=e^{-5}<1, podemos somá-la explicitamente e obter \dfrac{e^{-5}}{1-e^{-5}}.
    Dica prática para a prova: ao ver e^{-\alpha n} com \alpha>0, já se pode pensar que a série decai geometricamente e costuma ser convergente; usar integral ou reconhecer geométrica são caminhos válidos.

Resposta

Convergente.
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n} = \frac{e^{-5}}{1-e^{-5}}

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