Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da integral \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-5 n}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-5n} é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma quando possível.
Informações dadas:
Os termos da série são a_n = e^{-5n} para n=1,2,3,\dots.
Foi indicado usar o “Teste da integral” (portanto aplicaremos esse teste para decidir convergência).
Nada mais é fornecido.
Passo 2
Apresento o enunciado do Teste da Integral e o que é preciso checar.
Teorema (Teste da Integral, versão prática):
Se f(x) é uma função contínua, positiva e decrescente em [1,+\infty) e a_n=f(n), então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge.
Explicando cada condição:
Contínua: sem “saltos” no intervalo.
Positiva: f(x)>0 para x\ge1.
Decrescente: f'(x)\le0 para x\ge1.
Essas condições garantem que somas parciais e a integral têm comportamento comparável.
Passo 3
Aplicação do teste ao nosso caso: escolha f(x)=e^{-5x}.
Verificações:
Continuidade: f(x)=e^{-5x} é exponencial, contínua para todo x.
Positividade: e^{-5x}>0 para todo x.
Monotonicidade: calcule a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{-5x}=-5e^{-5x}.
Como -5e^{-5x}<0 para todo x, f é decrescente em [1,\infty).
Portanto as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
Passo 4
Calcular a integral imprópria \displaystyle\int_{1}^{\infty} e^{-5x}\,dx.
Como essa integral é finita, pelo Teste da Integral a série \sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n} é convergente.
Passo 5
Agora calcular a soma explicitamente (a série é do tipo que permite soma fechada).
Observação: \sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n} é uma série geométrica com termo geral a_n = a\,r^{\,n-1} se reescrevermos; mais diretamente, tem primeiro termo a=e^{-5} (para n=1) e razão r=e^{-5} (porque a_{n+1}/a_n = e^{-5}). Recordando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: se |r|<1 então
\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1-r}.
No nosso caso a série começa em n=1, então escrevemos
Interpretação final e comentário rápido para a prova:
Pelo Teste da Integral a série converge porque a função contínua, positiva e decrescente f(x)=e^{-5x} tem integral finita em [1,\infty).
Como é uma série geométrica com razão |r|=e^{-5}<1, podemos somá-la explicitamente e obter \dfrac{e^{-5}}{1-e^{-5}}.
Dica prática para a prova: ao ver e^{-\alpha n} com \alpha>0, já se pode pensar que a série decai geometricamente e costuma ser convergente; usar integral ou reconhecer geométrica são caminhos válidos.