Ache uma representação em série de potências para a integral dada e termine o seu raio de convergência.
\int_{0}^{x} e^{t} d t

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{0}^{x} e^{t}\,dt
e pede duas coisas:
  • uma representação em série de potências (ou seja, escrever a integral como uma soma de potências de x);
  • o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas: o integrando é e^{t} e os limites de integração são 0 e x. Não há mais dados escondidos.

Passo 2

Vamos começar pela ferramenta principal: a série de Maclaurin (série em torno de 0) da função e^{t}. A série é
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}.
Explicando isso devagar:
  • Aqui n é o índice da soma, que vai de 0 ao infinito.
  • O símbolo n! significa fatorial de n (por exemplo, 3!=3\cdot2\cdot1=6).
  • Essa igualdade significa que para cada valor de t a soma infinita converge e representa e^{t}.
Motivo prático para aceitarmos isso na prova: a série acima é a definição usual (ou resultado do desenvolvimento em série de Taylor) de e^{t} e converge para todo t real (ou complexo). Além disso, dentro do raio de convergência de uma série de potências pode-se integrar termo a termo — vou justificar isso de forma simples.

Passo 3

Justificativa breve e intuitiva para integrar termo a termo: uma série de potências que converge uniformemente em um intervalo fechado [-A,A] pode ser integrada termo a termo nesse intervalo; a série de e^{t} converge uniformemente em todo intervalo compacto, portanto podemos trocar integral por soma. Na prática, em exercícios de prova isso é aceito desde que se saiba que e^{t} tem desenvolvimento de Taylor com raio infinito.
Então integramos a série termo a termo:
\int_{0}^{x} e^{t}\,dt = \int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}\right)dt = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{x}t^{n}\,dt.

Passo 4

Calcule cada integral simples:
\int_{0}^{x}t^{n}\,dt=\frac{x^{n+1}}{n+1}.
Substituindo na soma:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\cdot\frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)\,n!}.

Passo 5

Fazer um deslocamento de índice para simplificar a aparência da série. Defina m=n+1. Quando n=0 temos m=1, e quando n\to\infty temos m\to\infty. O termo fica
\frac{x^{m}}{m\,(m-1)!}.
Como m\,(m-1)!=m!, a expressão simplifica para
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}.

Passo 6

Reconhecendo a série de e^{x}: sabemos que
e^{x}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}=\underbrace{1}_{m=0}+\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}.
Portanto a série que encontramos é exatamente e^{x}-1. Assim, para todo x dentro do raio de convergência:
\int_{0}^{x}e^{t}\,dt=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{m!}=e^{x}-1.

Passo 7

Agora o raio de convergência. Considere a série de potências obtida como
\sum_{m=1}^{\infty}c_{m}x^{m}\quad\text{com}\quad c_{m}=\frac{1}{m!}.
Aplicando o teste da razão para os coeficientes:
\lim_{m\to\infty}\left|\frac{c_{m}}{c_{m+1}}\right| = \lim_{m\to\infty}\frac{1/m!}{1/(m+1)!} = \lim_{m\to\infty}(m+1)=\infty.
Isso indica que o raio de convergência R é infinito. Outra forma: para qualquer x fixo,
\frac{|x|^{m+1}/(m+1)!}{|x|^{m}/m!}=\frac{|x|}{m+1}\to 0,
logo converge para todo x. Conclusão: a série converge para todo x\in\mathbb{R} (ou \mathbb{C}), então R=\infty.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{x}e^{t}\,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=e^{x}-1\n
R=\infty

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