Ache uma representação em série de potências para a integral dada e termine o seu raio de convergência.
\int_{0}^{x} e^{t} d t
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
\int_{0}^{x} e^{t}\,dt
e pede duas coisas:
uma representação em série de potências (ou seja, escrever a integral como uma soma de potências de x);
o raio de convergência dessa série.
Informações relevantes fornecidas: o integrando é e^{t} e os limites de integração são 0 e x. Não há mais dados escondidos.
Passo 2
Vamos começar pela ferramenta principal: a série de Maclaurin (série em torno de 0) da função e^{t}. A série é
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}.
Explicando isso devagar:
Aqui n é o índice da soma, que vai de 0 ao infinito.
O símbolo n! significa fatorial de n (por exemplo, 3!=3\cdot2\cdot1=6).
Essa igualdade significa que para cada valor de t a soma infinita converge e representa e^{t}.
Motivo prático para aceitarmos isso na prova: a série acima é a definição usual (ou resultado do desenvolvimento em série de Taylor) de e^{t} e converge para todo t real (ou complexo). Além disso, dentro do raio de convergência de uma série de potências pode-se integrar termo a termo — vou justificar isso de forma simples.
Passo 3
Justificativa breve e intuitiva para integrar termo a termo: uma série de potências que converge uniformemente em um intervalo fechado [-A,A] pode ser integrada termo a termo nesse intervalo; a série de e^{t} converge uniformemente em todo intervalo compacto, portanto podemos trocar integral por soma. Na prática, em exercícios de prova isso é aceito desde que se saiba que e^{t} tem desenvolvimento de Taylor com raio infinito.
Fazer um deslocamento de índice para simplificar a aparência da série. Defina m=n+1. Quando n=0 temos m=1, e quando n\to\infty temos m\to\infty. O termo fica