06 - O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 4,6 cm / s enquanto sua altura está aumentando em uma taxa de 6,5 cm / s. Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é 30 cm e a altura é 350 cm? ( 1.0 ponto)

Passo 1

O enunciado trata de um cone cuja base tem raio r e altura h, e pede a taxa de variação do volume V quando
r=30,cm, h=350,cm, drdt=4,6,cm/s e dhdt=6,5,cm/s.
O conteúdo principal é taxa de variação relacionada (related rates) aplicando derivada implícita ao volume do cone.

Passo 2

O volume de um cone circular reto é dado por
V = 13pi r^2h
Derivando ambos os lados em função do tempo t, usando o produto r^2cdot h, obtemos
dVdt = 13pil(2rdrdt,h + r^2dhdtr)

Passo 3

Substituindo r=30, h=350, drdt=4,6 e dhdt=6,5 na expressão dentro do parêntese:
2r,hdrdt = 2cdot30cdot350cdot4,6 = 96,600, r^2dhdt = 30^2cdot6,5 = 5,850,
logo a soma é
2r,hdrdt + r^2dhdt = 96,600 + 5,850 = 102,450

Passo 4

Agora
dVdt = 13,pi,(102,450) = 34,150,picm^3/s

Passo 5

Em valor aproximado, usando piapprox3,1416:
dVdtapprox 34,150times3,1416 approx 107,300,cm^3/s

Resposta

dVdt=34,150,piapprox1,07times10^5,cm^3/s

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