Se f: R R é derivável, g(x)=x f(x^2) calcule g^prime(x).

Passo 1

O enunciado define
g(x)=x,fl(x^2r)
e pede g'(x). Aqui vamos usar a regra do produto, pois g é produto de u(x)=x e v(x)=f(x^2), e a regra da cadeia para derivar v(x).

Passo 2

Aplicando a regra do produto l(ucdot vr)'=u',v+u,v', temos
g'(x)=underbrace(x)'=1,f(x^2)+x,(f(x^2))'
O primeiro termo já fica
1cdot f(x^2)=f(x^2)

Passo 3

Para derivar v(x)=f(x^2) usamos a regra da cadeia: se v(x)=f(h(x)) com h(x)=x^2, então
v'(x)=f'l(h(x)r),h'(x)=f'(x^2)cdot 2x
Logo o segundo termo do produto é
xcdotl(f'(x^2),2xr)=2x^2,f'(x^2)

Passo 4

Somando os dois termos obtemos
g'(x)=f(x^2)+2x^2,f'(x^2)

Resposta

g'(x)=f(x^2)+2x^2,f'(x^2)

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