[06] (2,0) Use a Transformada de Laplace para determinar as soluções dos seguintes sistemas de equações diferenciais ( y=y(t), z=z(t) ) que satisfazem às condições iniciais dadas.
l y^prime+z=t z^prime+4 y=0 y(0)=0 z(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá um sistema de EDOs lineares acopladas
y'(t) + z(t) = t, z'(t) + 4,y(t) = 0,
com y(0)=0 e z(0)=-1, e pede y(t) e z(t). Vamos usar a Transformada de Laplace, sabendo que
Ly'(s)=sY(s)-y(0), Lt(s)=1s^2

Passo 2

Aplicando Laplace à primeira equação obtemos
sY(s)-y(0)+Z(s)=1s^2 Longrightarrow sY(s)+Z(s)=1s^2
pois y(0)=0. À segunda equação:
sZ(s)-z(0)+4Y(s)=0 Longrightarrow sZ(s)+1+4Y(s)=0 Longrightarrow 4Y(s)+sZ(s)=-1

Passo 3

Temos o sistema algébrico
sY + Z = tfrac1s^2, 4Y + sZ = -1,
que resolvemos por Cramer. O determinante é De<a=s^2-4. Para Y(s):
De<aY =dettfrac1s^2&1-1&s =1s^2,s-(-1) =1s+1,
então
Y(s)=De<aYDe<a =tfrac1s+1s^2-4 =1+ss,(s-2)(s+2)

Passo 4

Fazendo frações parciais em
Y(s)=1+ss,(s-2)(s+2) =As+Bs-2+Cs+2
achamos A=-tfrac14, B=tfrac38, C=-tfrac18. Logo
Y(s)=-141s+381s-2-181s+2
Invertendo Laplace:
y(t)=-14+38e^2t-18e^-2t

Passo 5

Usamos a primeira relação Z(s)=tfrac1s^2-sY(s). Isto dá
Z(s)=1s^2-s+1s^2-4 =1s^2-l(341s-2+141s+2r)
Invertendo:
z(t)=t-34e^2t-14e^-2t

Resposta

boxed y(t)=-14+38e^2t-18e^-2t, z(t)=t-34e^2t-14e^-2t

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